ממוצע לבדו אינו מספר את הסיפור
הפרק הזה בנוי משני חצאים שנפגשים בסוף. בחצי הראשון סטטיסטיקה: טבלת שכיחויות, שלושת מדדי המרכז, ואחריהם סטיית התקן, שהיא מדד פיזור ולא מדד מרכז ועונה על שאלה אחרת לגמרי. בחצי השני הסתברות: מרחב מדגם, מאורע משלים, מאורעות זרים, וההבחנה שהכול תלוי בה בין שני מאורעות תלויים לבלתי תלויים. בסוף שני החצאים נפגשים בשאלה אחת: כמה סטיות תקן מרוחק ערך מסוים מן הממוצע. במעבדה שלמעלה אתם גוררים נתון אחד ורואים מה קורה לממוצע ומה קורה לפיזור.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
שתי קבוצות עם אותו ממוצע בדיוק יכולות להיראות שונות לגמרי. קבוצה אחת שכל חבריה קיבלו 75, וקבוצה שנייה שחציה קיבל 50 וחציה 100. הממוצע זהה, והתמונה הפוכה: באחת אין הבדלים כלל, ובשנייה יש שני עולמות. משפט שנשען על הממוצע לבדו, כמו "הכיתה במצב סביר", נכון לראשונה ומטעה לחלוטין לגבי השנייה. בשביל להבדיל ביניהן צריך מספר שני, שמודד כמה רחוק הנתונים יושבים מן הממוצע, וזו בדיוק סטיית התקן. שני מספרים יחד אומרים משהו; אחד מהם לבדו כמעט תמיד אומר פחות ממה שנדמה.
איזה מדד עונה על איזו שאלה
שלושת מדדי המרכז אינם שלוש דרכים לחשב את אותו דבר. הם עונים על שלוש שאלות שונות, ולכן במצבים מסוימים הם מרוחקים זה מזה מאוד, וזה אינו סימן לטעות. הכלל המעשי: נתון חריג אחד מזיז את הממוצע ובקושי נוגע בחציון, מפני שהממוצע מחשב גדלים והחציון סופר מקומות. לכן בשכר, בזמן המתנה ובמחיר דירות מדווח בדרך כלל החציון ולא הממוצע. ולצד שלושתם עומדת סטיית התקן, שאינה מתחרה בהם אלא משלימה אותם: היא אינה אומרת היכן המרכז אלא כמה רחוק ממנו יושבים הנתונים.
כמה היה בסך הכול, מחולק שווה בשווה
עונה על "מה היה מקבל כל אחד אילו חילקנו הכול שווה". הוא לוקח בחשבון כל נתון ונתון, ולכן הוא גם היחיד מבין שלושת מדדי המרכז שנתון חריג אחד מזיז אותו בכוח.
מי עומד באמצע השורה
מסדרים מקטן לגדול ולוקחים את האמצעי, ובמספר זוגי של נתונים את הממוצע של שני האמצעיים. הוא סופר מקומות ולא גדלים, ולכן נתון חריג כמעט אינו מזיז אותו.
מה חוזר הכי הרבה פעמים
הערך בעל השכיחות הגדולה ביותר. יכול לא להיות יחיד, ואז אומרים זאת ולא בוחרים אחד מהם באקראי. הוא המדד היחיד שמתאים גם לנתונים שאינם מספרים, כמו צבע או ענף.
כמה רחוקים הנתונים מן הממוצע
אינה מדד מרכז אלא מדד פיזור, ולכן היא עונה על שאלה אחרת לגמרי. היא נמדדת באותן יחידות של הנתונים עצמם, והיא אפס בדיוק כאשר כל הנתונים שווים זה לזה.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק בודק. אם משהו כאן נשמע לכם זר, זה המקום לעצור.
טבלת שכיחויות
בעמודה אחת הערכים, ובשנייה כמה פעמים כל ערך הופיע. סכום השכיחויות הוא מספר הנתונים כולו. שכיחות יחסית היא השכיחות חלקי הסכום הזה, ולכן היא בין 0 ל-1, וסכום כל השכיחויות היחסיות הוא בדיוק 1. אם הוא אינו 1, יש טעות בטבלה ולא במסקנה.
ממוצע מטבלה, וממוצע משוקלל
מטבלת שכיחויות מכפילים כל ערך בשכיחותו, מחברים, ומחלקים במספר הנתונים. הסיבה להכפלה: ערך שהופיע חמש פעמים תורם חמש פעמים. ממוצע משוקלל עובד באותו היגיון כשמאחדים קבוצות בגדלים שונים: מחברים את הסכומים ומחלקים בסך הפרטים, ולא מחשבים ממוצע של ממוצעים.
חציון ושכיח
לחציון מסדרים קודם, וזה הצעד שנשכח. במספר אי זוגי של נתונים החציון הוא האמצעי, ובמספר זוגי הוא ממוצע שני האמצעיים, ולכן הוא עשוי לא להופיע ברשימה כלל. השכיח הוא הערך שחוזר הכי הרבה, ולפעמים יש שניים או יותר, ואז אומרים זאת במפורש ולא בוחרים אחד.
סטיית תקן
מחשבים את הממוצע, מחסרים אותו מכל נתון, מעלים כל הפרש בריבוע, מחשבים את ממוצע הריבועים, ומוציאים שורש. הריבוע נועד למנוע מן ההפרשים החיוביים והשליליים לבטל זה את זה. היחידות הן יחידות הנתונים עצמם, והערך אינו שלילי לעולם: הוא אפס בדיוק כאשר כל הנתונים שווים.
הסתברות של מאורע
מספר המקרים המתאימים חלקי מספר כל המקרים, כשכולם שווי סיכוי. המשלים: ההסתברות שהמאורע לא יקרה היא 1 פחות ההסתברות שלו, וזו הדרך הנוחה לחשב "לפחות אחד". שני מאורעות זרים אינם יכולים לקרות יחד, ולכן ההסתברות שאחד מהם יקרה היא סכום שתי ההסתברויות.
תלויים או לא
השאלה המכריעה: האם התוצאה הראשונה שינתה את התנאים לשנייה. עם החזרה לא השתנה דבר, המאורעות בלתי תלויים, ומכפילים את שתי ההסתברויות כמות שהן. בלי החזרה ההרכב השתנה, ולכן ההסתברות השנייה נשענת על מה שקרה קודם, ומכפילים בהסתברות המעודכנת. בדיאגרמת עץ בת שני שלבים כותבים על כל ענף את ההסתברות שלו, ומכפילים לאורך המסלול.
שלוש דוגמאות פתורות
שלושת מדדי המרכז מתוך טבלה, סטיית תקן שלב אחר שלב, ועץ בן שני שלבים שממנו מחלצים שלוש הסתברויות שונות.
- בודקים את הסכום. 3 + 6 + 6 + 3 + 2 = 20 ✓. אם הסכום אינו יוצא, אין טעם להמשיך.
- ממוצע. מכפילים כל ערך בשכיחותו: 0 · 3 = 0, 1 · 6 = 6, 2 · 6 = 12, 3 · 3 = 9, 4 · 2 = 8. הסכום הוא 35, ומחלקים ב-20: 1.75 ימים.
- חציון. 20 נתונים, ולכן מחפשים את המקום העשירי ואת האחד עשר. שכיחות מצטברת: עד 0 יש 3, עד 1 יש 9, עד 2 יש 15. שני המקומות נופלים בתוך הקבוצה של 2 ימים, ולכן החציון הוא 2.
- שכיח. השכיחות הגדולה ביותר היא 6, והיא שייכת לשני ערכים: 1 ו-2. אין כאן שכיח יחיד, ואומרים זאת במפורש במקום לבחור אחד מהם.
- מה זה אומר. הממוצע 1.75 אינו מספר שלם ואינו חייב להיות: הוא תיאור ולא ספירה. אף עובד לא נעדר 1.75 ימים, ובכל זאת זה המספר שמתאר את הקבוצה.
- ממוצע 1.75 ימים, חציון 2 ימים, ושני שכיחים: 1 ו-2.
- ממוצע. 14 + 18 + 20 + 22 + 26 = 100, ומחלקים בחמישה: הממוצע הוא 20.
- הפרש מן הממוצע לכל נתון. −6, −2, 0, 2, 6. שימו לב שסכומם אפס תמיד, וזו בדיקה טובה: אם לא יצא אפס, הממוצע חושב לא נכון.
- מעלים בריבוע. 36, 4, 0, 4, 36. הריבוע הוא מה שמונע מן החיוביים והשליליים לבטל זה את זה.
- ממוצע הריבועים. 36 + 4 + 0 + 4 + 36 = 80, ומחלקים בחמישה: 16.
- שורש. 16 = 4, וזו סטיית התקן.
- בדיקה בעין. הנתונים פרושים עד 6 יחידות מן הממוצע לכל צד. סטיית תקן של 4 יושבת בתוך הטווח הזה והיא קטנה מן הקיצוני שבו, וכך זה צריך להיראות תמיד.
- סטיית התקן היא 4, ביחידות של הנתונים עצמם.
- קודם מכריעים אם תלוי. הכדור הראשון אינו מוחזר, ולכן בשלב השני יש 6 כדורים ולא 7, וההרכב השתנה. המאורעות תלויים, וההסתברות השנייה נשענת על מה שיצא קודם.
- הענף הראשון. ההסתברות שהראשון ירוק היא 37, ואם כך קרה נשארו 2 ירוקים מתוך 6, ולכן ההסתברות השנייה היא 26.
- שני ירוקים. מכפילים לאורך המסלול: (37) · (26) = 642 = 17.
- אף ירוק. המסלול השני: (47) · (36) = 1242 = 27.
- לפחות אחד. זהו המשלים של "אף אחד", ולכן 1 − 27 = 57. זו הדרך הקצרה: הדרך הארוכה הייתה לחבר את שני המסלולים שבהם יצא ירוק אחד בדיוק, 1242 + 1242 = 47, ולהוסיף להם את 17.
- בדיקה. שלוש האפשרויות מכסות הכול: 17 + 47 + 27 = 1 ✓.
- שני ירוקים 17, אף ירוק 27, ולפחות אחד 57.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל המאתגר: קודם טבלאות ומדדי מרכז, אחר כך פיזור וסטיית תקן, ולבסוף הסתברות עד שני מאורעות. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות, שבהן כותבים ומנמקים, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1טבלאות: שכיחות ושכיחות יחסית, ומעבר בין טבלה לדיאגרמה ובחזרה.
- 2שלושה מדדי מרכז: ולכל אחד השאלה שהוא עונה עליה, וההטיה שהוא רגיש לה.
- 3סטיית תקן: חמישה צעדים, יחידות של הנתונים, ומה קורה לה כשמוסיפים נתון קרוב או רחוק.
- 4הסתברות: מרחב מדגם, משלים, מאורעות זרים, ותלות מול אי תלות בין שני מאורעות.
- 5המפגש: כמה סטיות תקן מרוחק ערך נתון מן הממוצע, וזה מספר יחיד שאומר הכול.
