פרק 1 מתוך 4 · חשבון דיפרנציאלי

חקירה אחת, סדר קבוע

בשאלון 472 חקירת פונקציה אינה נושא אחד מתוך רבים, אלא השלד שעליו נתלים כמעט כל שאר הנושאים. הפרק הזה מחזיר לידיים את הסדר שלה: קודם תחום ההגדרה, אחריו הנגזרת ומה שהיא מגלה, ואחר כך האסימפטוטות, הסימטריה והשרטוט. במעבדה שלמעלה אתם בוחרים משפחת פונקציות ומזיזים אותה, ורואים אילו ישרים נוסעים איתה ואילו נשארים במקום.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת

מעבדת האסימפטוטות בחרו משפחה, הזיזו אותה, וראו מה קורה לתחום ההגדרה ולישרים שמלווים אותה

y = 1 / x

תחום ההגדרה: כל x

הזזה אופקית0

הזזה אנכית0

חזקה של e לעולם אינה מתאפסת. זו שורה אחת, והיא חוסכת חצי עמוד בכל שאלה שנייה בפרק. כשצריך לפתור (x² − 9) · e^x = 0, מכפלה מתאפסת רק כשאחד הגורמים מתאפס, והגורם השני כאן אינו יכול להתאפס אף פעם. נשאר x² − 9 = 0 בלבד. אותה שורה עצמה אומרת גם שגרף של y = e^x אינו פוגש את הציר האופקי, ולכן הוא נצמד אליו מלמעלה בלי לגעת בו. מי שמנסה בכל זאת לאפס את החזקה מבזבז זמן על משוואה שאין לה פתרון.

מבט מקרוב

שבעה שלבים, ותמיד באותו סדר

חקירה אינה אוסף של תרגילים נפרדים אלא רצף אחד, ומי שהופך את סדרו משלם על כך. ראשית תחום ההגדרה: מכנה שמתאפס, ביטוי שלילי מתחת לשורש וביטוי שאינו חיובי בתוך לוגריתם טבעי, כולם מוציאים ערכים מן המשחק, ולכן פתרון שנופל מחוץ לתחום נפסל עוד לפני שדנים בו. אחר כך מפגשים עם הצירים: מאפסים את הפונקציה כדי לקבל את המפגש עם הציר האופקי, ומציבים אפס כדי לקבל את המפגש עם הציר האנכי. ואז הנגזרת: משווים אותה לאפס, ומסווגים כל פתרון לפי הסימן שלה משני עבריו, שכן זהו הכלי היחיד שיש לנו לסיווג ברמת ארבע יחידות. לאחר מכן האסימפטוטות: אנכית מגיעה מערך שמאפס מכנה בלבד, או שמאפס את הביטוי הפנימי של לוגריתם טבעי, ואופקית מגיעה מן ההתנהגות כאשר x גדל מאוד. לבסוף סימטריה ושרטוט: הצבת −x מכריעה אם הגרף סימטרי, וכל מה שנאסף עד כאן מתאחד לסקיצה אחת.

תחום, מפגשים, נגזרת, אסימפטוטות, סימטריה, שרטוט

ראשון

תחום ההגדרה

מכנה שמתאפס, ביטוי שלילי מתחת לשורש, וביטוי שאינו חיובי בתוך לוגריתם טבעי. פתרון שנופל מחוץ לתחום נפסל לפני שדנים בו.

שני

מפגשים עם הצירים

מאפסים את הפונקציה כדי לקבל את המפגש עם הציר האופקי, ומציבים אפס כדי לקבל את המפגש עם הציר האנכי. שבר מתאפס כשהמונה מתאפס.

שלישי

הנגזרת, וסימנה

משווים לאפס, ואת כל פתרון מסווגים לפי הסימן משני עבריו. ברמת ארבע יחידות זהו הכלי היחיד לסיווג, ואין נגזרת שנייה.

רביעי

אסימפטוטות

אנכית מגיעה מן הערך שהוצא מן התחום. אופקית מגיעה מן ההתנהגות כאשר המשתנה גדל מאוד, והיא אינה חייבת להיות בשני הצדדים.

חמישי

סימטריה, ואז שרטוט

הצבת הנגדי מכריעה אם הגרף סימטרי ביחס לציר או ביחס לראשית, ורק אז מחברים את כל הממצאים לסקיצה אחת.

הסדר הזה אינו המלצה אלא הכרח: כל שלב נשען על מה שלפניו, ומי שמתחיל בגזירה עלול לגזור על תחום שאינו קיים.

שש תזכורות לפני התרגול

מה חשוב לזכור

שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק בודק. אם משהו כאן נשמע לכם זר, זה המקום לעצור ולא להמשיך הלאה.

שלושה סוגי תחום

מכנה אסור לו להתאפס, ולכן מאפסים אותו ומוציאים את הפתרונות. תחת שורש הביטוי חייב להיות אפס או יותר, ולכן פותרים אי שוויון חלש. בתוך לוגריתם טבעי הביטוי חייב להיות חיובי ממש, ולכן פותרים אי שוויון חזק. שלושתם נפתרים לפני כל חישוב אחר.

שלושת כללי הגזירה

מנה: נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה, והכול חלקי המכנה בריבוע. מכפלה: נגזרת הראשון כפול השני ועוד הראשון כפול נגזרת השני. הרכבה: גוזרים את החיצוני ומכפילים בנגזרת הפנימי. אחרי כל אחד מהם כדאי לצמצם, כי הצורה המצומצמת היא זו שנוח להשוות לאפס.

המשיק

השיפוע בנקודה הוא ערך הנגזרת בה, ולא ערך הפונקציה. משוואת המשיק נכתבת מן השיפוע ומן הנקודה שעל הגרף. כשמבקשים משיק מקביל לישר נתון, משווים את הנגזרת לשיפוע של אותו ישר ופותרים, וזהו כל ההבדל.

סיווג בלי נגזרת שנייה

ברמת ארבע יחידות לא לומדים את הנגזרת השנייה כלל. לכן אחרי שמצאתם היכן הנגזרת מתאפסת, בודקים את הסימן שלה משמאל לנקודה ומימין לה: מסימן שלילי לחיובי זו נקודת מינימום, ומחיובי לשלילי זו נקודת מקסימום. אם הסימן אינו מתחלף, אין שם נקודת קיצון.

שתי משפחות של אסימפטוטות

אנכית נובעת מערך שהפונקציה אינה מוגדרת בו: מכנה שמתאפס, או ביטוי פנימי של לוגריתם טבעי שמתאפס. אופקית נובעת מן ההתנהגות כאשר x גדל מאוד. אצל y = e^x האסימפטוטה האופקית היא הציר עצמו, וכל הזזה אנכית מסיעה גם אותה.

מקומי מול מוחלט

נקודת קיצון מקומית היא הגבוהה או הנמוכה ביותר בסביבה קרובה בלבד. בקטע סגור, הערך הגדול ביותר עשוי להתקבל דווקא באחד הקצוות ולא בנקודה שבה הנגזרת מתאפסת. לכן בקטע סגור בודקים תמיד גם את שני הקצוות.

אסימפטוטה אנכית

הישר האנכי נשאר צמוד לערך שאינו בתחום ההגדרה, והגרף רץ לידו בלי לגעת בו לעולם.

אסימפטוטה אופקית

הישר האופקי מתאר לאן הגרף שואף כאשר x גדל מאוד, והוא עצמו נוסע עם כל הזזה אנכית.

נפתור יחד, שלב אחרי שלב

שלוש חקירות פתורות

שלוש משפחות שהשאלון חוזר אליהן שוב ושוב: מנה של פולינומים, מכפלה של פולינום בחזקה של e, ולוגריתם טבעי של ביטוי ריבועי. בכל אחת מהן אותו סדר בדיוק.

דוגמה 1חקרו את f(x) = (x² + 9) : x: תחום הגדרה, מפגשים עם הצירים, אסימפטוטה, ונקודות שבהן הנגזרת מתאפסת.

תחום הגדרה. המכנה הוא x, והוא מתאפס ב-x = 0. לכן התחום הוא כל x פרט לאפס.
מפגש עם הציר האופקי. שבר מתאפס רק כשהמונה מתאפס. x² + 9 הוא סכום של ריבוע ושל תשע, ולכן הוא חיובי תמיד ואינו מתאפס. אין מפגש עם הציר האופקי.
מפגש עם הציר האנכי. אפס אינו בתחום ההגדרה, ולכן גם מפגש כזה אינו קיים.
אסימפטוטה אנכית. הערך היחיד שהוציא מן התחום הוא אפס, ולכן הישר x = 0 הוא אסימפטוטה אנכית.
נגזרת. לפי כלל המנה: (2x · x − (x² + 9) · 1) : x², וזה מצטמצם ל-(x² − 9) : x².
איפוס. המכנה חיובי בכל התחום, ולכן די לאפס את המונה: x² − 9 = 0, כלומר x = 3 או x = −3.
סיווג לפי סימן. משמאל ל-3 המונה שלילי ומימין לו חיובי, ולכן שם מינימום. משמאל ל-−3 המונה חיובי ומימין לו שלילי, ולכן שם מקסימום.
מינימום ב-(3, 6), מקסימום ב-(−3, −6), אסימפטוטה אנכית x = 0, ואין אף מפגש עם הצירים.

דוגמה 2חקרו את g(x) = x² · e^−x: נגזרת, נקודות קיצון, וההתנהגות כאשר x גדל מאוד.

תחום הגדרה. אין מכנה, אין שורש ואין לוגריתם, ולכן התחום הוא כל המספרים.
נגזרת לפי כלל המכפלה. נגזרת הגורם הראשון היא 2x, ונגזרת הגורם השני היא −e^−x לפי כלל ההרכבה. מקבלים 2x · e^−x − x² · e^−x.
מוציאים גורם משותף. e^−x · x · (2 − x). שימו לב שהגורם הראשון חיובי תמיד, ולכן הוא אינו משפיע על הסימן כלל.
איפוס. נשאר x · (2 − x) = 0, כלומר x = 0 או x = 2.
סיווג. הביטוי x · (2 − x) שלילי משמאל לאפס, חיובי בין אפס לשתיים, ושלילי מימין לשתיים. לכן ב-x = 0 יש מינימום, וב-x = 2 יש מקסימום.
ערכים. g(0) = 0, ו-g(2) = 4 · e⁻², שהוא בערך 0.54.
לאן שואף הגרף. כאשר x גדל מאוד, החזקה השלילית של e מתקרבת לאפס מהר יותר מכל פולינום, ולכן הגרף נצמד לציר האופקי. האסימפטוטה האופקית היא y = 0.
מינימום ב-(0, 0), מקסימום ב-(2, 4e⁻²), ואסימפטוטה אופקית y = 0 בצד הימני של הגרף.

דוגמה 3נתונה h(x) = ln(x² − 4x + 3). מצאו את תחום ההגדרה, את האסימפטוטות האנכיות ואת המפגשים עם הציר האופקי.

תנאי התחום. הביטוי הפנימי חייב להיות חיובי ממש: x² − 4x + 3 > 0.
מפרקים. x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3), ולכן שורשי הביטוי הפנימי הם 1 ו-3.
פותרים את אי השוויון. פרבולה שנפתחת כלפי מעלה חיובית מחוץ לשורשיה, ולכן התחום הוא x < 1 או x > 3.
אסימפטוטות אנכיות. בשני הקצוות האלה הביטוי הפנימי מתקרב לאפס, ולוגריתם טבעי צונח שם מטה בלי גבול. לכן x = 1 ו-x = 3 הן אסימפטוטות אנכיות.
מפגש עם הציר האופקי. לוגריתם טבעי מתאפס כשהביטוי הפנימי שווה לאחד: x² − 4x + 3 = 1, כלומר x² − 4x + 2 = 0.
פותרים. לפי נוסחת השורשים מקבלים x = 2 + 2 ו-x = 2 − 2. שני הפתרונות בתחום: האחד קטן מאחד, והשני גדול משלוש.
התחום הוא x < 1 או x > 3, האסימפטוטות האנכיות הן x = 1 ו-x = 3, והגרף פוגש את הציר האופקי בשתי נקודות.

תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול הפרק

ניקוד: 0 / 0

שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל המאתגר: קודם תחום הגדרה וטכניקת גזירה, אחר כך משיק, קיצון ואסימפטוטות, ולבסוף קריאה של גרף הנגזרת, טרנספורמציות והכרעות. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות, שבהן כותבים ומנמקים, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

שליטה

0חדש

0בלימוד

0בחזרה

0שולט

מה יש בפרק הזה

1תחום ההגדרה קודם: מכנה, שורש ולוגריתם טבעי, כל אחד ותנאי משלו.
2שלושה כללי גזירה: מנה, מכפלה והרכבה, ואחריהם צמצום.
3סיווג לפי סימן בלבד: הנגזרת השנייה אינה נלמדת בארבע יחידות.
4שתי משפחות אסימפטוטות: אנכית מן התחום, אופקית מן ההתנהגות בקצה.
5מקומי אינו מוחלט: בקטע סגור בודקים גם את שני הקצוות.

מפתח פתרונות (תרגול)