שלושה ממדים, ושתי שפות
זהו הפרק היחיד בחוברת שהוא חומר חדש לגמרי: בכיתה י״א לא הייתם במרחב. הוא מדבר בשתי שפות שמתארות את אותו דבר. השפה הגאומטרית מסמנת חצים בתוך הגוף ומחברת אותם לאורך מסלולים, והשפה האלגברית מחליפה כל חץ בשלושה מספרים. הזווית, האורך, הניצבות והנפח מתקבלים בשתיהן, ושאלת בגרות טובה עוברת ביניהן באמצע.
במעבדה שלמעלה אתם בוחרים שני מקצועות בתיבה, והיא אומרת מה המצב ההדדי ביניהם ומחשבת אותו מן השיעורים.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות.
חזרה לשער החוברת
שני ישרים שאינם נפגשים אינם בהכרח מקבילים. במישור זה נכון, ובמרחב זה פשוט לא. קחו תיבה: המקצוע התחתון הקדמי והמקצוע האנכי שבפינה האחורית לעולם אינם נפגשים, וגם אינם מקבילים, מפני שאין שום מישור אחד שמכיל את שניהם. המצב הזה נקרא מצטלבים, ואין לו מקביל במישור. זו הסיבה שהשאלה הראשונה בכל שאלת מרחב היא לא כמה, אלא מה המצב ההדדי. תלמיד שמביא איתו מן המישור את ההרגל לומר שלא נפגשים פירושו מקבילים, יטעה כאן בשאלה הראשונה ובכל מה שנשען עליה.
מה בודקים לפני שמחשבים
שאלת מרחב מתחילה בקריאה של הסרטוט, ולא בנוסחה. שייכות: אילו קודקודים יושבים על אותה פאה, אילו מקצועות שייכים לאותו מישור, ואיזו נקודה נמצאת בכלל בתוך המישור שאתם עובדים בו. מצב הדדי בין שני ישרים: נחתכים אם יש להם נקודה משותפת, מקבילים אם יש מישור אחד שמכיל את שניהם ואין להם נקודה משותפת, ומצטלבים אם אין מישור כזה כלל. מצב הדדי בין ישר למישור: הישר מונח בתוכו, מקביל לו, או פוגש אותו בנקודה יחידה. מה קובע מישור: שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, שני ישרים נחתכים, שני ישרים מקבילים, או ישר ונקודה שאינה עליו. ושני ישרים מצטלבים אינם קובעים מישור, וזו בדיוק הנקודה שקל להחליק עליה. ולבסוף הגובה: בפירמידה שכל מקצועותיה הצדדיים שווים הוא נופל במרכז המעגל שחוסם את הבסיס, ובגוף שאינו ישר צריך למצוא אותו, לרוב דרך מקצוע שניצב לבסיס.
אילו קודקודים יושבים על אותה פאה, ואיזו נקודה נמצאת בכלל בתוך המישור שאתם עובדים בו. זו קריאה, ואין בה חישוב.
נחתכים אם יש נקודה משותפת; מקבילים אם יש מישור שמכיל את שניהם ואין נקודה משותפת; ומצטלבים אם אין מישור כזה כלל.
הישר מונח בתוך המישור, מקביל לו, או פוגש אותו בנקודה יחידה. שלוש אפשרויות בלבד, ואין רביעית.
שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, שני ישרים נחתכים, שני ישרים מקבילים, או ישר ונקודה שאינה עליו. שני ישרים מצטלבים אינם ברשימה.
בפירמידה שכל מקצועותיה הצדדיים שווים הוא נופל במרכז המעגל שחוסם את הבסיס. בגוף שאינו ישר מחפשים מקצוע שניצב לבסיס.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את שתי השפות של הפרק, ואת המעבר ביניהן.
שלושה מצבים, לא שניים
שני ישרים במרחב יכולים להיות נחתכים, מקבילים או מצטלבים. השלישי הוא זה שאין לו מקביל במישור: אין להם נקודה משותפת, ואין גם מישור יחיד שמכיל את שניהם. בתיבה זהו המצב השכיח ביותר בין שני מקצועות אקראיים.
ניצבות למישור
אין צורך לבדוק כל ישר במישור. די בשניים: אם ישר מאונך לשני ישרים נחתכים שבמישור, הוא מאונך למישור כולו. בשפה של וקטורים זה נעשה נוח במיוחד, שהרי די להראות ששתי מכפלות סקלריות מתאפסות, ושהשניים אינם כפולה זה של זה.
מסלול סגור
חיבור של חצים לאורך מסלול בתוך הגוף אינו תלוי בדרך אלא רק בהתחלה ובסוף. לכן אפשר תמיד לצאת מנקודה, ללכת לאורך מקצועות מוכרים, ולהגיע ליעד. זו הדרך היחידה שצריך כדי להביע כל קטע בגוף בעזרת שניים או שלושה יסודות.
נקודה שמחלקת ביחס
אם נקודה מחלקת קטע ביחס נתון, החץ אליה הוא חלק מתאים מן החץ לאורך כל הקטע. שימו לב ליחס: שניים לאחד פירושו שני שלישים מן הקטע ולא חצי, ובלבול כאן מפיל את כל שאר הסעיף.
מכפלה סקלרית, שני פנים
בגישה הגאומטרית היא מכפלת שני האורכים בקוסינוס הזווית שביניהם, ובגישה האלגברית היא סכום מכפלות השיעורים המתאימים. שתיהן נותנות אותו מספר, ולכן אפשר לחשב באחת ולהסיק בשנייה. אורך מתקבל ממכפלת גודל בעצמו, וניצבות מתקבלת מתוצאה שמתאפסת.
הזווית שבין החצים
הזווית שבנוסחה היא הזווית בין שני החצים כשהם יוצאים מאותה נקודה. בגוף לא תמיד מסמנים אותם כך, ולכן לפני החישוב בודקים לאן כל אחד מצביע. סימן הפוך לאחד מהם הופך את הזווית לזווית המשלימה ל-180°, ואת סימן התוצאה. תוצאה שלילית פירושה שהזווית קהה, וזה מידע ולא טעות.
שלוש דוגמאות פתורות
קריאה של מצבים הדדיים במקבילון, הבעה של קטע בעזרת שלושה יסודות בפירמידה, ומעבר מלא אל השפה האלגברית.
- הזוג הראשון. בבסיס AB מקביל ל-DC, מפני שהבסיס מקבילית. בפאה העליונה D′C′ מקביל ל-DC מאותה סיבה. שני ישרים המקבילים לישר שלישי מקבילים ביניהם.
- לכן AB ו-D′C′ מקבילים, ואפשר גם לומר יותר: שניהם שווים באורכם, ולכן ABC′D′ הוא מקבילית.
- הזוג השני. יש להם נקודה משותפת? CC′ עובר דרך C, והנקודה C אינה על הישר AB. אין נקודה משותפת.
- האם הם מקבילים? כדי שיהיו, צריך מישור אחד שמכיל את שניהם. AB מונח במישור הבסיס, ו-CC′ פוגש את מישור הבסיס בנקודה יחידה ואינו מונח בו. לכן אין מישור כזה.
- אין נקודה משותפת ואין מישור משותף, ולכן הם מצטלבים.
- הזוג השלישי. A′C′ מונח בפאה העליונה, והפאה העליונה מקבילה לבסיס. ישר שמונח במישור אחד משני מישורים מקבילים אינו יכול לפגוש את השני.
- AB ו-D′C′ מקבילים; AB ו-CC′ מצטלבים; והישר A′C′ מקביל למישור הבסיס.
- קודם האלכסון של הבסיס. הבסיס מקבילית, ולכן AC = u + v. זו הליכה לאורך שתי צלעות סמוכות.
- עכשיו המקצוע SC. מגיעים אליו במסלול: מ-S חוזרים ל-A ואז הולכים ל-C. מקבלים SC = AC − AS, כלומר u + v − w.
- היחס. SM : MC = 1 : 3 פירושו שהמקצוע מחולק לארבעה חלקים שווים, ו-M יושב אחרי החלק הראשון. לכן SM הוא רבע מ-SC.
- מכאן SM = (u + v − w) : 4.
- מסלול סגור אל היעד. AM = AS + SM, כלומר w + (u + v − w) : 4.
- מאחדים. מכנה משותף ארבע: (4w + u + v − w) : 4.
- AM = (u + v + 3w) : 4. שימו לב לביקורת: סכום המקדמים של שלושת היסודות אינו חייב להיות אחד, אבל היחס 1 : 3 חייב להופיע כרבע ולא כשליש, וזו הטעות השכיחה כאן.
- הבסיס במישור. לכל ארבעת קודקודי הבסיס השיעור השלישי אפס, ולכן כולם יושבים במישור שנקבע על ידי שני הצירים הראשונים.
- ריבוע. AB = (4, 0, 0) ו-AD = (0, 4, 0). שני האורכים שווים ל-4, והמכפלה הסקלרית ביניהם היא 0, כלומר יש שם זווית ישרה. צלעות סמוכות שוות וזווית ישרה: ריבוע.
- שטח הבסיס. 4 · 4, כלומר 16.
- הגובה. מרכז הריבוע הוא הנקודה (2, 2, 0), וקודקוד הראש נמצא ישירות מעליה. לכן הגובה הוא 6.
- נפח. שליש משטח הבסיס כפול הגובה: 16 · 6 : 3, כלומר 32.
- שני חצים מקודקוד הראש. SB = (2, −2, −6) ו-SC = (2, 2, −6). שניהם יוצאים מ-S, ולכן הזווית ביניהם היא בדיוק הזווית המבוקשת.
- מכפלה סקלרית. 4 − 4 + 36, כלומר 36. האורכים: 4 + 4 + 36 מתחת לשורש, כלומר 44 לכל אחד.
- הקוסינוס יוצא 36 : 44, כלומר 9 : 11, שהוא בערך 0.818.
- הבסיס ריבוע, הנפח הוא 32, והזווית BSC היא בערך 35.1°. הקוסינוס יצא חיובי, ולכן הזווית חדה, וזה מתיישב עם הסרטוט.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות: קודם קריאה של גוף ומצבים הדדיים, אחר כך וקטורים בגישה הגאומטרית, ולבסוף ההצגה בשלושה מספרים, זוויות ונפחים. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות. בכל השאלות הנתונים מספריים בלבד.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1שלושה מצבים הדדיים: נחתכים, מקבילים ומצטלבים, והשלישי חדש לכם.
- 2מה קובע מישור: ארבע דרכים, ושני ישרים מצטלבים אינם אחת מהן.
- 3מסלול סגור: כל קטע בגוף מובע בשניים או שלושה יסודות.
- 4מכפלה סקלרית: אורך, זווית וניצבות, בשתי שפות שנותנות אותו מספר.
- 5נפח: שטח בסיס וגובה, וקודם צריך לזהות היכן הגובה בכלל יושב.
