שני נושאים, ורעיון אחד
הפרק האחרון מחבר שני נושאים שנראים רחוקים. גדילה ודעיכה מתארות תהליך שבו הכמות מוכפלת באותה כפולה בכל צעד, ולכן הזמן יושב במעריך ולוגריתם הוא הדרך היחידה להוציא אותו משם. סטטיסטיקה מתארת אוסף נתונים בכמה מספרים בודדים, ואחר כך מניחה עליו עקומה שמאפשרת לחשב חלקים. הרעיון המשותף: בשניהם עוברים ממספרים בודדים אל מודל, ואז שואלים את המודל שאלות.
במעבדה שלמעלה אתם קובעים כמות התחלתית ואחוז שינוי, וגוררים את הזמן.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות.
חזרה לשער החוברת
ירידה של 20% ואחריה עלייה של 20% אינה מחזירה אתכם לנקודת ההתחלה. נסו: מאה שקלים יורדים לשמונים, ואחר כך עולים בעשרים אחוז מן השמונים, כלומר בשישה עשר שקלים, ומגיעים לתשעים ושישה. הפסדתם ארבעה אחוזים, ולא אפס. הסיבה היא שאחוז אינו מספר קבוע שמתווסף, אלא כפולה שמופעלת על מה שיש כרגע. שני התהליכים כופלים ב-0.8 ואחר כך ב-1.2, והמכפלה שלהם אינה אחד. כל הפרק הזה בנוי על ההבחנה הזאת בדיוק: תהליך מעריכי מוגדר על ידי הכפולה, ולא על ידי התוספת.
העקומה שמאחורי הנתונים
כשמדידה חוזרת על עצמה הרבה פעמים בטבע ובחברה, הנתונים נוטים להסתדר בצורה מוכרת: גבוהים באמצע ודלילים בקצוות, וסימטריים ביחס לאמצע. בעקומה כזאת הממוצע, החציון והשכיח יושבים כולם באותה נקודה, בדיוק במרכז, וזה אינו נכון בהתפלגות שנוטה לצד אחד. שני מספרים קובעים אותה לגמרי: הממוצע אומר היכן היא ממוקמת, וסטיית התקן אומרת כמה היא רחבה. שתי עקומות באותו ממוצע ובסטיות תקן שונות ייראו אחת צרה וגבוהה והשנייה שטוחה ורחבה, והשנייה היא זו שהנתונים בה מפוזרים יותר. כדי לחשב חלקים ממירים כל נתון לציון תקן, שאומר כמה סטיות תקן הוא רחוק מן הממוצע ולאיזה כיוון, ואז קוראים בטבלה את החלק שנמצא מתחתיו. חשוב לזכור מה הטבלה נותנת: היא נותנת תמיד את החלק שמתחת לציון, ולכן חלק שמעליו מתקבל בהשלמה לאחד, וחלק שבין שני ציונים מתקבל בהפרש. בקטע שרוחבו סטיית תקן אחת לכל צד מן הממוצע יושבים כשני שלישים מן הנתונים, וזו אמת מידה מהירה לבדיקת סבירות.
מה קובע את העקומה
שני מספרים בלבד. הממוצע אומר היכן היא ממוקמת על הציר, וסטיית התקן אומרת כמה היא רחבה. אין צורך בשום נתון נוסף כדי לשרטט אותה.
למה שלושת המדדים מתלכדים
העקומה סימטרית ביחס למרכזה, ולכן האמצע לפי סדר, הנקודה הגבוהה ביותר והממוצע הם אותה נקודה. בהתפלגות שנוטה לצד אחד הם נפרדים זה מזה.
מה הטבלה נותנת
תמיד את החלק שנמצא מתחת לציון תקן נתון. חלק שמעליו הוא ההשלמה לאחד, וחלק שבין שני ציונים הוא ההפרש בין שני הערכים.
הכיוון ההפוך
כשנתון האחוז ומבקשים את הנתון עצמו, מחפשים בטבלה את הערך הקרוב, קוראים ממנו את ציון התקן, ומשם חוזרים אל הנתון בעזרת הממוצע וסטיית התקן.
מה חשוב לזכור
שלוש כרטיסיות לגדילה ולדעיכה, ושלוש לסטטיסטיקה. שתי הכרטיסיות האחרונות עוסקות בטעויות שחוזרות כל שנה.
מן האחוז אל הכפולה
גידול של 7% פירושו כפל ב-1.07, והפחתה של 7% פירושה כפל ב-0.93. שימו לב שאלה אינם הופכיים זה לזה, ולכן גידול ואחריו הפחתה באותו אחוז אינם מבטלים זה את זה. אחרי t צעדים מכפילים את הכמות ההתחלתית בכפולה בחזקת t.
יחידת זמן אחת
לפני שכותבים נוסחה, מוודאים שהכול מדבר באותה יחידה. אם הנתון הוא לכל ארבע שעות והשאלה שואלת על יממה, ממירים קודם. הדרך הבטוחה היא לספור כמה צעדים יש בפרק הזמן, ולא לנסות להמיר את הכפולה עצמה.
הנעלם במעריך
כשהזמן יושב במעריך, מבודדים קודם את החזקה לבדה, ורק אחר כך מפעילים לוגריתם על שני האגפים. אם אפשר להביא את שני האגפים לאותו בסיס, אין צורך בלוגריתם כלל ופשוט משווים מעריכים. באי שוויון יש מלכודת: בסיס שקטן מאחד הופך את כיוון האי שוויון.
שלושה מדדי מרכז ושניים של פיזור
ממוצע מושפע מכל נתון, ולכן ערך קיצוני מזיז אותו. חציון הוא הערך האמצעי לפי סדר, והוא כמעט אינו מושפע מקיצוניים. שכיח הוא הנפוץ ביותר. טווח הוא ההפרש בין הגדול לקטן, והוא מסתמך על שני נתונים בלבד. סטיית תקן מודדת כמה רחוקים הנתונים מן הממוצע בממוצע, ולכן היא משתמשת בכולם.
הטבלה נותנת מלמטה
הטבלה שבדף הנוסחאות מחזירה תמיד את החלק שנמצא מתחת לציון התקן. חלק שמעליו הוא ההשלמה שלו לאחד, וחלק שבין שני ציונים הוא ההפרש בין שני הערכים. בכיוון ההפוך, כשנתון אחוז ומבקשים ציון, מחפשים בטבלה את הערך הקרוב ומתרגמים אותו בחזרה לציון ואז לנתון המקורי.
קשר אינו סיבה
מקדם המתאם נע בין −1 ל-1. הסימן אומר את הכיוון, והמרחק מאפס אומר את העוצמה. מה שהוא אינו אומר הוא שמשתנה אחד גורם לשני; שני משתנים יכולים לנוע יחד מפני ששניהם תלויים בגורם שלישי. וגם ישר הרגרסיה מוגבל: ניבוי מחוץ לתחום שנמדד אינו תקף, מפני שאיננו יודעים אם הקשר ממשיך שם.
שלוש דוגמאות פתורות
תהליך גדילה עם שתי שאלות, כמה ומתי; זמן מחצית חיים והנימוק לכך שאינו תלוי בכמות; וחישוב חלקים על עקומה.
- מן האחוז אל הכפולה. גידול של 8% פירושו שהכמות החדשה היא 108% מן הקודמת, כלומר כופלים ב-1.08 בכל שנה.
- הנוסחה. אחרי t שנים הכמות היא 5000 · 1.08t.
- השאלה הראשונה, כמה. מציבים t = 10. הכפולה בחזקת עשר היא בערך 2.1589.
- מכאן הכמות היא בערך 10795 פרטים. שימו לב שהיא כבר יותר מכפולה, וזה יעזור לנו בסעיף הבא.
- השאלה השנייה, מתי. מבקשים שהכמות תוכפל, כלומר 5000 · 1.08t = 10000. מחלקים ומקבלים 1.08t = 2.
- הנעלם במעריך. מפעילים לוגריתם על שני האגפים ומורידים את המעריך: t · log 1.08 = log 2.
- מכאן t = log 2 : log 1.08, שהוא בערך 9.01.
- כעבור עשר שנים יהיו כ-10795 פרטים, וההכפלה מתרחשת אחרי כ-9 שנים. בדיקת סבירות: ההכפלה חייבת לקרות לפני עשר שנים, ואכן.
- הכפולה. אובדן של 3% משאיר 97%, ולכן כופלים ב-0.97 בכל יום.
- מה מבקשים. זמן מחצית חיים הוא הזמן שבו הכמות יורדת לחצי מכל ערך שהוא.
- כותבים את המשוואה. נסמן את המסה ההתחלתית באות ונדרוש 0.97t כפול אותה מסה שווה למחציתה.
- וכאן העיקר. המסה ההתחלתית מופיעה בשני האגפים ומצטמצמת. נשאר 0.97t = 0.5, ובביטוי הזה אין זכר לכמות שיצאנו ממנה.
- פותרים. לוגריתם על שני האגפים נותן t = log 0.5 : log 0.97.
- שני הלוגריתמים שליליים, ולכן המנה חיובית, והיא בערך 22.76.
- זמן מחצית החיים הוא כ-22.8 ימים. הוא אינו תלוי במסה ההתחלתית מפני שהיא מצטמצמת בשלב השלישי, וזו התכונה שהופכת אותו לגודל אופייני לחומר עצמו.
- ממירים לציוני תקן. ציון תקן הוא ההפרש מן הממוצע, מחולק בסטיית התקן.
- עבור 78: ההפרש הוא 8, ולכן ציון התקן הוא 1. עבור 86: ההפרש הוא 16, ולכן 2. עבור 62: ההפרש הוא −8, ולכן −1.
- השאלה הראשונה. מבקשים חלק שמתחת, וזה בדיוק מה שהטבלה נותנת. עבור ציון תקן 1 מתקבל 0.8413, כלומר כ-84.13%.
- השאלה השנייה. מבקשים חלק שמעל, ולכן משלימים לאחד. הטבלה נותנת 0.9772 עבור ציון תקן 2, וההשלמה היא 0.0228, כלומר כ-2.28%.
- השאלה השלישית. מבקשים חלק בין שניים, ולכן מחסרים. לפי הסימטריה של העקומה, החלק שמתחת ל-−1 שווה לחלק שמעל 1, כלומר 0.1587.
- ההפרש הוא 0.8413 − 0.1587, כלומר 0.6826, שהוא כ-68.26%.
- כ-84.13% מתחת ל-78, כ-2.28% מעל 86, וכ-68.26% בין השניים. התוצאה האחרונה היא בדיוק אמת המידה המהירה שהוזכרה למעלה, וזו בדיקת סבירות טובה.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות: קודם חזקות, לוגריתמים ומשוואות, אחר כך תהליכי גדילה ודעיכה, ולבסוף סטטיסטיקה מן המדדים ועד לרגרסיה. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות. בכל שאלות ההסתברות שבפרק מדובר בשני מאורעות בלתי תלויים בלבד, בהתאם למה שנבחן השנה.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1אחוז הוא כפולה: תהליך מעריכי מוגדר על ידה, ולא על ידי תוספת.
- 2נעלם במעריך: מבודדים את החזקה, ואז לוגריתם או בסיס משותף.
- 3זמן מחצית חיים אינו תלוי בכמות שממנה יצאנו, והיא מצטמצמת.
- 4עקומה סימטרית: ממוצע, חציון ושכיח יושבים באותה נקודה.
- 5קשר אינו סיבה, וניבוי מחוץ לתחום שנמדד אינו תקף.
