חקירה אחת, ארבע שכבות
חקירת פונקציה בשאלון 572 אינה רשימת פעולות אלא ארבע שכבות שמונחות זו על זו: תחום ההגדרה קובע איפה בכלל מותר לשאול, הנגזרת הראשונה אומרת לאן הגרף הולך, הנגזרת השנייה אומרת איך הוא מתעקל בדרך, וההתנהגות בקצוות אומרת לאן הוא שואף כשנגמרים המספרים. מי שמדלג על השכבה הראשונה מוצא קיצון בנקודה שאינה קיימת, ומי שמדלג על האחרונה מצייר גרף שנגמר בכלום.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות עם פתרון מלא.
מה אין כאן, ולמה. פונקציית השורש הריבועי אינה נכנסת בפרק לשום אינטגרל. אין נפח של גוף שנוצר בסיבוב. ואין אינטגרל שמשמש כשלב בתוך בעיית קיצון. שלושתם הוסרו משאלון 572 ברשימה "הנושאים שלא יילמדו בשנת הלימודים תשפ״ז".
חזרה לשער החוברת
הנגזרת השנייה מתאפסת שם, ואין שם פיתול. f(x) = x⁴ היא הדוגמה הנגדית הקצרה ביותר בכל החומר. הנגזרת השנייה שלה היא 12x², והיא אכן מתאפסת ב-x = 0. אבל 12x² אינו שלילי לעולם, ולכן הקעירות לא התחלפה: הגרף קעור כלפי מעלה משמאל לאפס, וקעור כלפי מעלה גם מימינו. התאפסות היא תנאי הכרחי ולא מספיק, וכל עוד לא בדקתם שהסימן באמת התחלף לא הוכחתם דבר. אותה מלכודת בדיוק חוזרת בנגזרת הראשונה: f(x) = x³ מקיימת f′(0) = 0 ואין לה קיצון.
ארבע השכבות של חקירה
שכבה ראשונה, תחום ההגדרה. מכנה אינו מתאפס, וביטוי שמתחת לשורש ריבועי אינו שלילי. השכבה הזאת נכתבת ראשונה כי היא פוסלת נקודות שאחר כך היו נראות כמו פתרון. שכבה שנייה, הנגזרת הראשונה. מאפסים אותה, ובכל נקודה חשודה בודקים אם הסימן התחלף. התחלף מפלוס למינוס → מקסימום, ממינוס לפלוס → מינימום, לא התחלף → אין קיצון בכלל. שכבה שלישית, הנגזרת השנייה. חיובית פירושה קעירות כלפי מעלה, שלילית פירושה קעירות כלפי מטה, והמקום שבו הסימן מתחלף הוא נקודת פיתול. שכבה רביעית, הקצוות. ליד נקודה שהוצאה מן התחום שואלים לאן הגרף בורח, ובשני קצות התחום שואלים לאיזה גובה הוא מתיישר. שתי השאלות האלה נשאלות בנפרד, ולפעמים התשובות שונות זו מזו.
תחום ההגדרה
מכנה שאינו מתאפס, וביטוי שמתחת לשורש ריבועי שאינו שלילי. השכבה הזאת פוסלת מראש נקודות שאחר כך היו נראות כמו פתרון.
הנגזרת הראשונה
לאן הגרף הולך. מאפסים, ובכל נקודה חשודה בודקים אם הסימן התחלף. פלוס למינוס נותן מקסימום, מינוס לפלוס נותן מינימום, ואי החלפה אינה נותנת דבר.
הנגזרת השנייה
איך הגרף מתעקל בדרך. חיובית פירושה קעירות כלפי מעלה, שלילית פירושה כלפי מטה, והמקום שבו הסימן מתחלף הוא פיתול.
ההתנהגות בקצוות
ליד נקודה שהוצאה מן התחום שואלים לאן הגרף בורח, ובשני קצות התחום שואלים לאיזה גובה הוא מתיישר. שתי השאלות נשאלות בנפרד, וכל קצה בנפרד.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות בדיוק את מה שהתרגול בודק. אם אחת מהן נשמעת זרה, זה המקום לעצור לפני הסט הראשון.
מכפלה, מנה והרכבה
נגזרת של מכפלה היא סכום של שני איברים, ובכל אחד מהם נגזר גורם אחד בלבד. נגזרת של מנה מציבה במונה הפרש, וסדר החיסור אינו סימטרי. בהרכבה גוזרים את החיצונית ומכפילים בנגזרת הפנימית, וזהו בדיוק הגורם שהכי קל לשכוח.
תחום קודם לכול
נקודה שבה הנגזרת מתאפסת אך שאינה בתחום ההגדרה איננה קיצון, והיא איננה כלום. בפונקציה עם מכנה יש בדרך כלל נקודה כזאת בדיוק בשורש המכנה, והיא מגיעה עם אסימפטוטה ולא עם קיצון.
סימן בלי גזירה
למכפלה או למנה של גורמים אפשר לקבוע סימן בלי לגזור כלל: גורם בחזקה זוגית אינו משנה סימן לעולם והוא רק מאפס, וגורם בחזקה אי זוגית מחליף סימן בכל אחד משורשיו. זה חוסך חצי מן העבודה באי שוויונות.
פיתול, ושלושת סוגיו
פיתול הוא מקום שבו הקעירות מתחלפת. המשיק בו יכול להיות אופקי כאשר גם הנגזרת הראשונה מתאפסת שם, משופע כאשר היא אינה מתאפסת, ואפילו אנכי כאשר היא כלל אינה קיימת. בשלושת המקרים הפיתול אמיתי.
שתי שאלות שונות בקצוות
אסימפטוטה אנכית נשאלת ליד נקודה שהוצאה מן התחום, ובודקים בה את שני הצדדים בנפרד. אסימפטוטה אופקית נשאלת בשני קצות התחום, וגם שם כל קצה בנפרד. בביטוי עם שורש שתי התשובות עשויות להיות שונות זו מזו.
אינטגרל ושטח
אינטגרל מסוים הוא מספר, ושטח הוא תמיד אי שלילי. כשהגרף חוצה את הציר האופקי בתוך התחום, מפצלים לתחומים לפי הסימן ולוקחים ערך מוחלט בכל אחד. בין שני גרפים מחסרים תמיד עליון פחות תחתון, ומכריעים מי עליון בכל תחום בנפרד.
שלוש דוגמאות פתורות
חקירה של פולינום מקצה לקצה, מפת אסימפטוטות של פונקציה רציונלית, וחישוב שטח שדורש פיצול לפי סימן.
- נגזרת ראשונה. f′(x) = 3x² − 6x − 9. מוציאים 3 ומפרקים: 3(x − 3)(x + 1).
- מאפסים. הנקודות החשודות הן x = 3 ו-x = −1.
- סימן הנגזרת. מכפלה של שני גורמים לינאריים: חיובית מחוץ לשורשים, שלילית ביניהם. לכן ב-x = −1 הסימן עובר מפלוס למינוס, וב-x = 3 ממינוס לפלוס.
- הצבה. f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10 ו-f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22.
- נגזרת שנייה. f″(x) = 6x − 6, והיא מתאפסת ב-x = 1. היא שלילית משמאל וחיובית מימין, ולכן הקעירות באמת התחלפה. f(1) = 1 − 3 − 9 + 5 = −6.
- מקסימום ב-(−1, 10), מינימום ב-(3, −22), ופיתול ב-(1, −6). שימו לב שהפיתול יושב בדיוק באמצע שבין שתי נקודות הקיצון, וזה נכון בכל פולינום ממעלה שלישית.
- תחום ההגדרה. המכנה מתאפס כאשר x² = 1, כלומר ב-x = 1 וב-x = −1. שתי הנקודות האלה יוצאות מן התחום.
- האם זו אסימפטוטה או חור. בודקים אם המונה מתאפס באותן נקודות. 2 · 1 + 1 = 3, והוא אינו מתאפס, ולכן אין כאן צמצום ואלה אסימפטוטות אנכיות אמיתיות.
- שתי אסימפטוטות אנכיות: x = 1 ו-x = −1.
- הקצוות. המונה והמכנה שניהם ממעלה שנייה, ולכן היחס ביניהם נשלט על ידי המקדמים המובילים בלבד.
- אסימפטוטה אופקית אחת, y = 2, ושתי אסימפטוטות אנכיות. הגרף מתקרב לאותו גובה בשני הקצוות, כי המעלות שוות.
- גבולות. מאפסים: 4 − x² = 0, ולכן x = 2 ו-x = −2. אלה גבולות האינטגרל.
- סימן בתוך התחום. בין השורשים הפרבולה שנפתחת כלפי מטה נמצאת מעל הציר, ולכן הביטוי חיובי בכל התחום ואין צורך לפצל.
- פונקציה קדומה. 4x − x³ / 3.
- הצבת הגבולות. בגבול העליון 8 − 83, ובגבול התחתון −8 + 83. ההפרש הוא 16 − 163.
- השטח הוא 323. שימו לב מדוע לא היה צריך לפצל כאן: הגרף לא חצה את הציר בתוך התחום אלא רק נגע בו בקצוות.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות. הראשון על נגזרת, תחום וסימן, השני על פיתול, קיצון ואסימפטוטות, והשלישי על משיק, משפחה פרמטרית, אינטגרל ושטח. אחריהם ארבע משימות פתוחות ובכל אחת פתרון מלא ואמות מידה לבדיקה עצמית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1תחום קודם לכול: נקודה שאינה בתחום אינה יכולה להיות קיצון.
- 2התאפסות אינה מספיקה: בנגזרת הראשונה ובשנייה כאחת, ההכרעה היא בהחלפת הסימן.
- 3שני סוגי קצוות: אסימפטוטה אנכית ליד נקודה שהוצאה, ואופקית בשני קצות התחום.
- 4שטח אינו אינטגרל: כשהגרף חוצה את הציר מפצלים לפי הסימן.
- 5קיצון בפרק הזה חי על גרפים ובגאומטריה של המישור בלבד, לפי המיקוד.
