מספר שהוא נקודה במישור
זהו פרק חדש, של כיתה יב׳. בכיתה יא׳ לא למדתם מספרים מרוכבים, ולכן הפרק הזה אינו חזרה אלא היכרות ראשונה עם נושא שייפתח בכיתה.
ברגע שמוסיפים מספר שריבועו שלילי, כל מספר נעשה זוג ולא ערך בודד, וכל מספר יושב במישור ולא על ישר. זה המחיר וזה גם הרווח. המחיר: אי אפשר עוד לשאול מי גדול ממי, כי במישור אין סדר. הרווח עצום: כפל נעשה סיבוב, חיסור נעשה מרחק, ומשוואה שלא היה לה פתרון אחד נעשית משוואה שיש לה בדיוק כמה פתרונות כמעלתה, והם מסתדרים מעצמם כקודקודים של מצולע משוכלל.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות עם פתרון מלא.
מה אין כאן, ולמה. הסדרה החשבונית, זו שההפרש בין כל שני אברים עוקבים בה קבוע, אינה משתלבת כאן עם שום מספר מרוכב. השילוב הזה הוסר משאלון 572 ברשימה "הנושאים שלא יילמדו בשנת הלימודים תשפ״ז", ולכן לא תמצאו בפרק אף שאלה כזאת. שרשרת שהיחס בין אבריה קבוע כן נשארה, והיא מופיעה כאן בחזקות העוקבות.
חזרה לשער החוברת
כפל אינו הגדלה. כפל הוא סיבוב. כשכופלים שני מספרים ממשיים, הישר נמתח או מתכווץ. כשכופלים במספר שריבועו שלילי, הישר מסתובב: המספר 1 עובר למקומו של i, כלומר רבע סיבוב. עוד כפל, ועוד רבע סיבוב, ואנחנו ב-−1. וזה, פתאום, מסביר את הדבר שנשמע חסר היגיון: ריבוע שיוצא שלילי הוא פשוט חצי סיבוב. מכאן והלאה כל החוקים בפרק הם וריאציות על משפט אחד: בהצגה הקוטבית, כפל מכפיל את האורכים ומחבר את הזוויות.
שתי הצגות, ולכל אחת עבודה משלה
ההצגה האלגברית היא זוג של רכיב ממשי ורכיב מדומה. היא הנוחה לחיבור ולחיסור, כי מקבצים רכיב מול רכיב, והיא הנוחה גם לכפל אם זוכרים שריבוע היחידה המדומה הוא −1. לחילוק היא דורשת תרגיל: מכפילים את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה, ואז המכנה נעשה ממשי ואפשר לחלק. ההצגה הקוטבית היא זוג של אורך וזווית. היא כמעט חסרת תועלת לחיבור, והיא המלכה של כפל, חילוק וחזקה: אורכים מוכפלים או מחולקים, וזוויות מתחברות או נחסרות. מכאן נובע ישירות שהעלאה בחזקה מכפילה את הזווית, וזהו כל תוכנו של משפט דה מואבר.
איך בוחרים. אם בשאלה יש חיבור וחיסור, מתחילים אלגברי. אם יש חזקה גבוהה, שורש, או משוואה מן הצורה נעלם בחזקה שווה למספר, עוברים לקוטבי עוד לפני שמתחילים לחשב. שאלה שמערבת את השניים נפתרת לרוב בשני שלבים, אחד בכל הצגה.
- חיבור וחיסור: מקבצים רכיב מול רכיב
- כפל: פותחים סוגריים וזוכרים ש-i² שלילי
- חילוק: רק אחרי הכפלה בצמוד
- חזקה גבוהה: מסורבל מאוד
- שורש מכל סדר: כמעט בלתי אפשרי
- חיבור וחיסור: אין בה שום יתרון
- כפל: אורכים מוכפלים, זוויות מתחברות
- חילוק: אורכים מתחלקים, זוויות נחסרות
- חזקה: האורך בחזקה, הזווית מוכפלת
- שורש: מחלקים את הזווית, וכל השורשים על מעגל אחד
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות בדיוק את מה שהתרגול בודק.
מה נוסף, ומה לא
נוסף פתרון למשוואות שלא היה להן פתרון, ונוספה תמונה גאומטרית שלמה. לא נוספה השוואת גודל: אין משמעות לשאלה מי גדול, כי במישור אין סדר טבעי. מה שכן אפשר להשוות: את הערך המוחלט, שהוא מספר ממשי אי שלילי.
הצמוד, וארבעה שימושים
הצמוד הופך את סימן הרכיב המדומה. הוא הכלי לחילוק, הוא מסביר מדוע פתרונות של משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים באים בזוגות, הוא נותן את הערך המוחלט בריבוע כשכופלים בו, והוא שיקוף בציר הממשי במישור.
חזקות היחידה המדומה
הן חוזרות במחזור של ארבע: i, −1, −i, 1 ושוב מהתחלה. לכן כדי לחשב חזקה גבוהה מחלקים את המעריך בארבע ומסתכלים רק בשארית. זו אותה מחזוריות שנראית במעגל כארבעה רבעי סיבוב.
ערך מוחלט הוא מרחק
הערך המוחלט הוא המרחק מן הראשית, ולכן ערך מוחלט של הפרש הוא המרחק בין שתי נקודות. מכאן שלושה מקומות גאומטריים: מרחק קבוע מנקודה נותן מעגל, מרחקים שווים משתי נקודות נותנים ישר, ויחס מרחקים קבוע ששונה מאחד נותן שוב מעגל.
לבחור זווית לפי הרביע
המחשבון מחזיר זווית לפי מנת הרכיבים, והוא אינו יודע באיזה רביע אתם. שתי נקודות מנוגדות זו לזו נותנות אותה מנה בדיוק. לכן אחרי כל חישוב זווית שואלים מה הסימן של כל רכיב, ומתקנים בהתאם.
משוואת חזקה
למשוואה שבה נעלם בחזקה n מושווה למספר יש בדיוק n פתרונות. כולם על מעגל אחד, כי לכולם אותו אורך, והם מפוזרים עליו במרווחי זווית שווים. לכן הם קודקודים של מצולע משוכלל, וסכומם אפס.
שלוש דוגמאות פתורות
חילוק בעזרת הצמוד, מעבר להצגה קוטבית והעלאה בחזקה גבוהה, ופתרון של משוואת חזקה יחד עם התמונה הגאומטרית שלה.
- מזהים את הצמוד של המכנה. הוא 2 + 3i, כי הצמוד הופך את סימן הרכיב המדומה בלבד.
- מכפילים בו את המונה ואת המכנה. זה כפל באחד, ולכן הערך אינו משתנה.
- המכנה. (2 − 3i)(2 + 3i) = 4 + 9 = 13. שימו לב שהוא יצא ממשי, וזו כל מטרת התרגיל.
- המונה. (5 + i)(2 + 3i) = 10 + 15i + 2i + 3i². האיבר האחרון הוא −3, ולכן מקבלים 7 + 17i.
- התוצאה היא (7 + 17i) / 13, כלומר 713 + (1713)i. בדיקה מהירה: מכפילים חזרה במכנה המקורי וחוזרים ל-5 + i.
- אורך. 1 + 1 = 2.
- זווית, ובזהירות. מנת הרכיבים נותנת −1, ולזה מתאימות שתי זוויות במעגל. הרכיב הממשי שלילי והמדומה חיובי, ולכן הנקודה ברביע השני, והזווית היא 135° ולא −45°.
- ההצגה הקוטבית: 2 (cos 135° + i sin 135°).
- חזקה. האורך עולה בחזקה והזווית מוכפלת: האורך נעשה (2)⁸ = 16, והזווית 8 · 135° = 1080°.
- מצמצמים את הזווית. 1080 = 3 · 360, כלומר שלושה סיבובים שלמים, ולכן הזווית שקולה ל-0.
- z⁸ = 16, מספר ממשי חיובי. שימו לב מה קרה כאן: שמונה סיבובים של 135 מעלות החזירו אותנו בדיוק לציר הממשי, וזה בדיוק סוג התוצאה שההצגה האלגברית הייתה מסתירה.
- אגף ימין בהצגה קוטבית. 8 הוא מספר ממשי חיובי, ולכן אורכו 8 וזוויתו 0. אך זווית אפס שקולה גם ל-360° ול-720°, וזה מה שייתן את הפתרונות הנוספים.
- אורך הפתרון. אם z באורך r אז z³ באורך r³, ולכן r³ = 8 ומכאן r = 2. זהו האורך של כל שלושת הפתרונות.
- זוויות. הזווית של z מוכפלת בשלוש, ולכן מחלקים כל אחת מן הזוויות השקולות בשלוש: 0, 120° ו-240°.
- חזרה לאלגברי. 2(cos 0 + i sin 0) = 2. 2(cos 120° + i sin 120°) = −1 + 3 i. 2(cos 240° + i sin 240°) = −1 − 3 i.
- שלושה פתרונות, כולם על מעגל שרדיוסו 2, במרווחי זווית של 120 מעלות. כלומר הם קודקודים של משולש שווה צלעות, וסכומם 2 + (−1 + 3 i) + (−1 − 3 i) = 0.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות. הראשון על האלגברה, השני על ההצגה הקוטבית ועל משוואות, והשלישי על התמונה הגאומטרית במישור. אחריהם ארבע משימות פתוחות ובכל אחת פתרון מלא ואמות מידה לבדיקה עצמית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1אין השוואת גודל בין שני מספרים כאלה. יש השוואה בין הערכים המוחלטים שלהם.
- 2הצמוד פותר חילוק, מסביר זוגות פתרונות, ונותן שיקוף בציר הממשי.
- 3כפל מחבר זוויות, ולכן חזקה מכפילה זווית. זה כל משפט דה מואבר.
- 4ערך מוחלט הוא מרחק, ולכן כל תנאי על מרחקים הוא מקום גאומטרי מוכר.
- 5משוואת חזקה נותנת מצולע משוכלל על מעגל, וסכום הפתרונות אפס.
