השרטוט משקר, והמשולש אומר אמת
זהו פרק חדש, של כיתה יב׳. ניצבות במרחב, זוויות בין ישרים למישורים והכלים הווקטוריים עוד לא נלמדו בכיתה יא׳, ולכן הפרק הזה אינו חזרה אלא היכרות ראשונה. מה שכבר מוכר לכם הוא הגאומטריה של המישור, והפרק נשען עליה.
שרטוט של גוף במרחב הוא תמונה שטוחה של משהו שאינו שטוח, ולכן הוא משקר באופן שיטתי: זוויות ישרות נראות בו קהות, קטעים שאינם נפגשים כלל נראים חותכים זה את זה, וקטעים שווים נראים שונים. הדרך היחידה לצאת מזה היא זו שכל פותר טוב עושה בשורה הראשונה: לשלוף מן הגוף משולש אחד, לצייר אותו בנפרד בגודל אמיתי, ולהעביר אליו את הנתונים. משם והלאה זו כבר גאומטריה של המישור, שאתם כבר יודעים.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות עם פתרון מלא.
מה אין כאן, ולמה. הפרק בנוי על המנסרה הישרה ועל הפירמידה הישרה בלבד, ולצידן על הכלים הווקטוריים. שלושת הגופים העגולים הוסרו משאלון 572 ברשימה "הנושאים שלא יילמדו בשנת הלימודים תשפ״ז", ולכן אין כאן אף שאלה עליהם.
חזרה לשער החוברת
שתי צלעות שנראות נחתכות, ואינן נפגשות לעולם. בקובייה, הצלע הקדמית התחתונה והצלע האחורית העליונה נראות בשרטוט כאילו הן חוצות זו את זו במקום כלשהו באמצע. הן אינן. הן מצטלבות: לא מקבילות ולא נחתכות, ואין מישור אחד שמכיל את שתיהן. הנקודה שבה הן נראות נפגשות אינה קיימת בגוף, והיא רק אשליה של ההשטחה. לכן השאלה הראשונה מול כל שרטוט מרחבי היא לא "מה זה" אלא "האם שני הקטעים האלה באמת נפגשים", ובודקים זאת בגוף עצמו ולא בנייר.
שלוש הגדרות שאי אפשר לנחש
ישר ניצב למישור. לא די בכך שהוא ניצב לישר אחד במישור, וגם אין צורך לבדוק את כולם. התנאי הוא בדיוק שניים: הישר ניצב לשני ישרים חותכים שבמישור. שני ישרים מקבילים אינם מספיקים, וזו הטעות שחוזרת. הזווית בין ישר למישור. היא הזווית בין הישר לבין ההיטל שלו על המישור, כלומר לבין הצל שלו. ההיטל נוצר על ידי הורדת אנך מנקודה על הישר אל המישור, וחיבור רגל האנך אל הנקודה שבה הישר פוגש את המישור. הזווית בין שני מישורים. בוחרים נקודה על קו החיתוך ביניהם, ומעלים בכל מישור ישר שניצב לקו החיתוך באותה נקודה. הזווית בין שני הישרים האלה היא הזווית בין המישורים. מי שמודד סתם זווית בין שני קטעים באיורים מקבל מספר שאין לו משמעות.
ומכאן ואילך: כל חישוב יושב בתוך משולש, ורובם המכריע במשולש ישר זווית. השאלה שקובעת הכול היא היכן בדיוק הזווית הישרה, ואותה מוודאים בהגדרה ולא בעין.
ישר ניצב למישור
לא ישר אחד, ולא כל הישרים. בדיוק שני ישרים חותכים שבמישור. שני מקבילים אינם מספיקים, כי הם קובעים כיוון אחד בלבד ואינם פורשים את המישור.
זווית בין ישר למישור
הזווית בין הישר לבין ההיטל שלו, כלומר הצל שלו על המישור. היא הקטנה מכל הזוויות שבין הישר לישרי המישור, ולכן דווקא היא נבחרה להגדרה.
זווית בין שני מישורים
בוחרים נקודה על קו החיתוך, ומעלים בכל מישור ישר שניצב לקו החיתוך באותה נקודה. הזווית בין שני הישרים היא התשובה.
ואז: משולש אחד
כל חישוב בפרק יושב בתוך משולש, ורובם במשולש ישר זווית. השאלה שקובעת הכול היא היכן בדיוק הזווית הישרה, ואותה מוודאים בהגדרה ולא בעין.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות בדיוק את מה שהתרגול בודק.
שני מסלולים לאותה בעיה
כמעט כל שאלה בפרק אפשר לפתור בשני מסלולים: סינתטי, כלומר לשלוף משולש ולהפעיל עליו את משפט פיתגורס או טריגונומטריה, או וקטורי, כלומר לתת לכל קודקוד שלושה שיעורים ולחשב. שני המסלולים חוקיים, וכדאי לתרגל את שניהם ולראות מתי כל אחד קצר יותר.
אלכסון בגוף שבסיסו מלבן
מפעילים את משפט פיתגורס פעמיים. קודם על הבסיס, כדי לקבל את אלכסון הבסיס, ואז על המשולש הזקוף שצלעותיו אלכסון הבסיס, הגובה, והאלכסון המבוקש. בקובייה שצלעה a מקבלים מכך אלכסון a3.
שני משולשים בפירמידה
מן הקודקוד העליון יורדים שני קטעים שונים, ומבלבלים ביניהם כל הזמן. אחד יורד אל אמצע צלע הבסיס, והוא זה שנותן את שטח הפאה ואת הזווית שבין הפאה לבסיס. השני יורד אל קודקוד הבסיס, והוא הצלע הצדדית ונותן את הזווית שבינה לבין הבסיס.
נפח: המקדם השלישי
נפח מנסרה הוא שטח הבסיס כפול הגובה. נפח פירמידה הוא שליש מזה. גוף מורכב מפרקים לגופים פשוטים ומחברים או מחסרים את הנפחים, ואת החיבור עושים בנפחים ולא בשטחים.
מכפלה סקלרית
מחשבים אותה מן הרכיבים: מכפילים רכיב ברכיב ומחברים. היא שווה גם למכפלת האורכים בקוסינוס הזווית, ומכאן שתי מסקנות: אפשר לחלץ ממנה זווית, ותוצאה אפס פירושה ניצבות. זו הדרך המהירה ביותר לבדוק ניצבות במרחב.
ישר, מישור, ומרחק
ישר נכתב פרמטרית: נקודה ועוד פרמטר כפול וקטור כיוון. מישור נכתב ממשוואה שמקדמיה הם רכיבי הווקטור הניצב לו. הצבה של הישר במשוואת המישור מכריעה מיד את המצב ההדדי: פתרון יחיד פירושו חיתוך, זהות פירושה שהישר מוכל, וסתירה פירושה מקבילות.
שלוש דוגמאות פתורות
זווית בין אלכסון קובייה לבין הבסיס, פירמידה ישרה מקצה לקצה, וזווית בין שני וקטורים.
- מזהים את ההיטל. אלכסון הקובייה יוצא מקודקוד בבסיס ומגיע לקודקוד הנגדי שלמעלה. ההיטל שלו על הבסיס הוא אלכסון הבסיס, כי הצלע האנכית שמחברת ביניהם ניצבת לבסיס.
- המשולש שנשלף. קודקודיו: הקודקוד התחתון שממנו יוצא האלכסון, הקודקוד התחתון הנגדי לו, והקודקוד העליון. הזווית הישרה יושבת בקודקוד התחתון הנגדי, כי שם הצלע האנכית פוגשת את הבסיס.
- ניצב אחד. אלכסון הבסיס: 16 + 16 = 42.
- ניצב שני. הצלע האנכית, 4.
- הזווית המבוקשת יושבת בין אלכסון הקובייה לבין אלכסון הבסיס, ולכן tan α = 4 / (42) = 1/2.
- α היא הזווית שהטנגנס שלה 1/2, בקירוב 35.3 מעלות. בדיקת סבירות: היא קטנה מ-45 מעלות, וזה חייב לקרות כי אלכסון הבסיס ארוך מן הצלע האנכית.
- גובה הפאה. המשולש שנשלף: הגובה 3, וחצי צלע הבסיס 4, והזווית הישרה במרכז הבסיס. לכן 9 + 16 = 5.
- הצלע הצדדית. משולש אחר לגמרי: הגובה 3, וחצי אלכסון הבסיס. אלכסון הבסיס הוא 82 וחציו 42, שריבועו 32. לכן הצלע הצדדית היא 9 + 32 = 41.
- ההבדל בין השניים הוא כל העניין: אחד יורד לאמצע צלע והשני לקודקוד, ולכן השני ארוך יותר.
- שטח מעטפת. ארבעה משולשים זהים, ובכל אחד בסיס 8 וגובה 5: 4 · 0.5 · 8 · 5 = 80.
- נפח. שליש משטח הבסיס כפול הגובה: (13) · 64 · 3 = 64.
- צלע צדדית 41, גובה פאה 5, מעטפת 80, ונפח 64. שימו לב שהנפח יצא במקרה שווה לשטח הבסיס, וזו רק תוצאה של הגובה שנבחר.
- מכפלה סקלרית. מכפילים רכיב ברכיב ומחברים: 1 · 1 + 1 · 0 + 0 · 1 = 1.
- אורכים. |u| = 1 + 1 + 0 = 2, ובאותו אופן |v| = 2.
- הנוסחה. המכפלה הסקלרית שווה למכפלת האורכים בקוסינוס הזווית, ולכן cos α = 1 / (2 · 2) = 12.
- α = 60°. בדיקה: התוצאה חיובית, ולכן הזווית חדה, וזה מתאים לכך ששניהם מצביעים לאותו חצי מרחב. אילו המכפלה הייתה מתאפסת, הזווית הייתה ישרה.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות. הראשון על ניצבות, זוויות והיטלים, השני על נפח, שטח ופירוק גוף, והשלישי על הכלים הווקטוריים. אחריהם ארבע משימות פתוחות ובכל אחת פתרון מלא ואמות מידה לבדיקה עצמית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1השרטוט משקר: בודקים בגוף אם קטעים באמת נפגשים, לא בנייר.
- 2ניצבות למישור: שני ישרים חותכים, לא מקבילים ולא אחד.
- 3זווית עם מישור נמדדת מול ההיטל, ולא מול כל ישר שנוח.
- 4שני קטעים מן הקודקוד: אחד לאמצע צלע, השני לקודקוד. אל תבלבלו.
- 5מכפלה סקלרית אפס היא הדרך המהירה ביותר להוכיח ניצבות במרחב.
