שברים פשוטים, הרחבה וצמצום
זהו הפרק הראשון בחוברת, והוא נשען על רעיון אחד שממנו נגזר כל השאר: אותו חלק עצמו אפשר לכתוב בהרבה שמות. 23 ו-812 הם אותו גודל בדיוק, ורק החלקים חתוכים דק יותר. מהרעיון הזה נולדת ההרחבה, ממנו נולד הצמצום, וממנו נולד המכנה המשותף שבלעדיו אי אפשר להשוות שני שברים ואי אפשר לחבר אותם. נחזור גם על שברים שגדולים משלם אחד, על המעבר בין שבר למספר מעורב, ועל קו השבר כסימן חילוק.
בפרק הזה 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות שבהן כותבים ומנמקים. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
אותו חלק, שלושה שמות שונים. קחו פס שלם וצבעו ממנו 12. עכשיו חתכו את הפס לארבעה חלקים במקום לשניים: הצבע לא זז, אבל עכשיו הוא מכסה 24. חתכו לשמונה, והצבע מכסה 48. אף אחד לא הוסיף צבע ואף אחד לא הוריד, ובכל זאת המספרים גדלו. זו בדיוק ההרחבה, ובכיוון ההפוך זה הצמצום, והיא הכלי שיאפשר לנו בהמשך הפרק לחבר 12 עם 13 בלי לרמות.
למה בכלל צריך מכנה משותף
מכנה הוא שם של גודל: הוא אומר לכמה חלקים שווים חתכנו את השלם. 13 ו-14 הם חלקים בגדלים שונים לגמרי, ולכן אי אפשר לספור אותם יחד, בדיוק כמו שאי אפשר לחבר שלוש שקיות לארבעה בקבוקים ולקבל שבע של משהו. מה שעושים הוא לחתוך את שניהם מחדש לאותו גודל: מרחיבים את 13 ל-412 ואת 14 ל-312, ועכשיו לשניהם יש אותו שם, שתים עשריות, ואפשר פשוט לספור: 4 + 3 = 7 חלקים, כלומר 712. שימו לב מה קרה ומה לא קרה: המונים נפגשו, והמכנה נשאר במקומו, כי גודל החלק לא השתנה, רק כמה חלקים יש לנו. ואותו מכנה משותף עצמו הוא גם הכלי להשוואה: ברגע ששני השברים חתוכים באותו גודל, השבר עם המונה הגדול הוא פשוט הגדול.
מסתכלים על שני המכנים
המכנה אומר לכמה חלקים חתכנו את השלם, ולכן שני מכנים שונים הם שני גדלים שונים של חלק. כאן 3 ו-4.
מחפשים מכנה משותף
מספר שמתחלק בשני המכנים. אם לא רואים אותו מיד, כפל המכנים תמיד עובד: 3 כפול 4 הוא 12.
מרחיבים כל שבר בנפרד
לכל שבר גורם הרחבה משלו, והוא כופל גם את המונה וגם את המכנה, ולכן הערך נשמר.
סופרים מונים בלבד
עכשיו כל החלקים באותו גודל, ולכן זו ספירה. המכנה אינו מתחבר, כי גודל החלק לא השתנה.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק הזה בודק.
הרחבה
כופלים מונה ומכנה באותו מספר. 35 בגורם 4 הוא 1220. הערך לא זז, רק החלקים נחתכו דק יותר.
צמצום
מחלקים מונה ומכנה באותו מספר. 1525 מתחלק ב-5 ונעשה 35. מצומצם לגמרי כשאין עוד מחלק משותף.
מכנה משותף
מספר שמתחלק בשני המכנים. ל-4 ול-6 מתאים 12. אם לא רואים, אפשר תמיד לכפול מכנה במכנה.
חיבור וחיסור
אחרי המכנה המשותף מחברים או מחסרים רק את המונים. המכנה נשאר כמו שהוא ואינו מתחבר.
מספר מעורב
235 הוא 4 35, כי 23 : 5 = 4 ונשארת שארית 3. ובכיוון ההפוך: 2 23 הוא 83.
קו השבר הוא חילוק
234 פירושו 23 : 4. לכן חלוקה שווה של 23 ליטר לארבעה מיכלים נותנת 5 34 ליטר בכל אחד.
שלוש דוגמאות פתורות
הרחבה למכנה מבוקש, חיסור של שני מספרים מעורבים שדורש פריטת שלם, וחלוקה שווה שהתשובה שלה אינה מספר שלם.
- שואלים כפול כמה: איזה מספר כופל את 8 ונותן 40? 40 : 8 = 5, כלומר גורם ההרחבה הוא 5.
- מה שעשינו למכנה חייבים לעשות גם למונה, אחרת השבר משנה ערך: 3 × 5 = 15.
- מקבלים 1540.
- בודקים בכיוון ההפוך: 1540 מתחלק ב-5 למעלה ולמטה וחוזר ל-38. מתאים.
- המונה הוא 15, והשבר החדש 1540 שווה בדיוק ל-38.
- קודם מכנה משותף לשני החלקים השבריים. ל-6 ול-2 מתאים 6, כי 6 מתחלק בשניהם: 12 הוא 36.
- עכשיו התרגיל הוא 5 16 פחות 2 36, ומיד רואים בעיה: 16 קטן מ-36.
- פורטים שלם. לוקחים שלם אחד מתוך החמישה והופכים אותו לשש שישיות: 5 16 הוא 4 76.
- עכשיו זה קל: השלמים 4 − 2 = 2, והמונים 7 − 3 = 4, כלומר 2 46.
- מצמצמים את החלק השברי ב-2 ומקבלים 2 23.
- אומדים קודם: 20 : 4 = 5, ולכן התשובה תהיה קצת יותר מ-5 ליטר.
- מחלקים: 23 : 4 = 5 ונשארת שארית 3. השארית אינה נזרקת, היא מחולקת גם היא.
- שלושת הליטרים שנשארו מתחלקים בין 4 מיכלים, וזה בדיוק 34 ליטר לכל מיכל, כי קו השבר הוא סימן חילוק.
- בודקים בכפל: ארבעה מיכלים של 5 ליטר הם 20, וארבעה חלקים של 34 הם 3. יחד 23. מתאים.
- 5 34 ליטר בכל מיכל, וזה מסתדר עם האומדן.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל הקשה: קודם משמעות השבר, הרחבה וצמצום, אחר כך השוואה חיבור וחיסור, ולבסוף סט מאתגר של מספרים מעורבים, חילוק ובעיות. אחריהם סט רביעי, משימות פתוחות: שם כותבים בעצמכם, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית. המשימות הפתוחות אינן נספרות בציון, כי לתשובה שלכם יכולות להיות כמה צורות נכונות.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1הרחבה וצמצום: אותו מספר למעלה ולמטה, והערך נשמר.
- 2מכנה משותף: חותכים את שני השברים לאותו גודל חלק.
- 3חיבור וחיסור: רק המונים נפגשים, המכנה נשאר.
- 4מספר מעורב: מעבר לשני הכיוונים, ופריטת שלם כשצריך לחסר.
- 5קו השבר: הוא סימן חילוק, ולכן שארית הופכת לשבר.
