מספרים גדולים, חילוק ואומדן
בפרק הזה יש שתי מיומנויות שנראות הפוכות זו לזו, ובאמת הן עובדות יחד. הראשונה היא דיוק: חיבור וחיסור של מספרים בני שש ספרות, סדר פעולות שקובע מה קורה קודם, וחילוק במחלק דו-ספרתי כמו 24 או 56, שהוא הקפיצה הגדולה של השנה. השנייה היא אומדן, וזו אינה ניחוש: זה חישוב אמיתי עם מספרים נוחים, שאומר מראש לאיזה סדר גודל לצפות. הן עובדות יחד כי האומדן הוא זה שתופס את הטעות בדיוק. אם אמדתם 3,000 וקיבלתם 297, כנראה נשמטה ספרה, ואתם יודעים את זה בלי שאף אחד יבדוק לכם.
בפרק הזה 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות שבהן כותבים ומנמקים. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
אומדן טוב תופס טעות מהר יותר מבדיקה חוזרת. נניח שצריך לחשב 387 × 52. לפני שנוגעים בעיפרון אפשר לומר: 387 קרוב ל-400, 52 קרוב ל-50, ו-400 × 50 = 20,000. עכשיו כל תוצאה שתתקבל נבחנת מול המספר הזה. אם יצא 20,124 הכול בסדר. אם יצא 2,124 או 201,240 משהו נשמט או נדבק, ואתם יודעים את זה תוך שנייה, בלי לחזור על החישוב כולו. זה כל הרעיון: האומדן אינו תחליף לחישוב, הוא השומר שלו.
איך מחלקים במחלק דו-ספרתי
כשהמחלק היה חד-ספרתי אפשר היה לנחש כל ספרת מנה בראש. עם מחלק כמו 24 זה כבר לא עובד, ולכן מעגלים את המחלק לעשרת הקרובה ומנחשים לפיה. נניח 912 : 24. מעגלים את 24 ל-20, ושואלים כמה פעמים 20 נכנס ב-91: בערך ארבע. בודקים עם המחלק האמיתי, 24 × 4 = 96, וזה כבר גדול מ-91, ולכן הניחוש היה גבוה מדי ויורדים ל-3. 24 × 3 = 72, מחסרים ונשארים 19, ומורידים את הספרה הבאה כדי לקבל 192. שוב אותו סיבוב: 20 נכנס ב-192 בערך תשע פעמים, ובאמת 24 × 8 = 192 בדיוק. המנה היא 38. ובסוף תמיד בודקים בכפל: 24 × 38 = 912. אם יש שארית, היא חייבת להיות קטנה מהמחלק, אחרת המנה קטנה מדי ואפשר להכניס עוד מנה אחת.
אומדים לפני שמתחילים
912 קרוב ל-900 ו-24 קרוב ל-25, ולכן המנה תהיה בסביבות 36. עכשיו יש למה להשוות בסוף.
מעגלים את המחלק, ומנחשים
24 נעשה 20 לצורך הניחוש בלבד. כמה פעמים 20 נכנס ב-91? בערך ארבע.
מתקנים עם המחלק האמיתי
הכפל נעשה תמיד ב-24 ולא ב-20. יצא 96, וזה כבר עבר את 91, ולכן יורדים ל-3.
מחסרים, ומורידים ספרה
24 כפול 3 הוא 72, ונשארים 19. מורידים את הספרה 2, ומתחילים את הסיבוב מחדש על 192.
סוגרים את המנה
24 כפול 8 הוא 192 בדיוק, ולכן אין שארית. המנה היא 38, וזה קרוב לאומדן 36.
בודקים בכפל
הבדיקה של חילוק היא תמיד כפל. אם יש שארית, מוסיפים אותה, והיא חייבת להיות קטנה מהמחלק.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק הזה בודק.
סדר הפעולות
קודם סוגריים, אחר כך כפל וחילוק, ורק בסוף חיבור וחיסור. 50 − 8 × 4 = 18 ולא 168.
מעגלים לפני שמחשבים
387 × 52 הוא בערך 400 × 50 = 20,000. אומדן הוא חישוב עם מספרים נוחים, לא ניחוש.
ניחוש ספרת המנה
מעגלים את המחלק לעשרת: 24 נעשה 20, 56 נעשה 60. מנחשים לפיה, ומתקנים עם המחלק האמיתי.
בודקים בכפל
הבדיקה של חילוק היא כפל: 24 × 38 = 912. עם שארית: מחלק כפול מנה, ועוד השארית.
השארית קטנה מהמחלק
500 : 16 נותן 31 ושארית 4. שארית 20 הייתה מסגירה מיד שהמנה קטנה מדי.
חזקות של 10
10⁶ הוא שש עשרות מוכפלות, כלומר 1,000,000. המעריך סופר כמה אפסים יש אחרי ה-1.
שלוש דוגמאות פתורות
חילוק במחלק דו-ספרתי מהתחלה ועד הבדיקה, תרגיל שסדר הפעולות מכריע בו, וחילוק שבו השארית מחייבת דווקא לעגל כלפי מעלה.
- אומדן קודם. 912 קרוב ל-900 ו-24 קרוב ל-25, ו-900 : 25 = 36. אז נצפה למנה בסביבות 36.
- מתחילים ב-91 עשרות. מעגלים את המחלק ל-20 ושואלים כמה פעמים 20 נכנס ב-91: בערך 4.
- בודקים עם המחלק האמיתי: 24 × 4 = 96, וזה גדול מ-91. הניחוש היה גבוה, יורדים ל-3.
- 24 × 3 = 72, ו-91 − 72 = 19. מורידים את הספרה 2 ומקבלים 192.
- 24 × 8 = 192 בדיוק, ולכן ספרת המנה הבאה היא 8 ואין שארית.
- 912 : 24 = 38. בודקים בכפל: 24 × 38 = 912, וזה גם קרוב לאומדן 36.
- סוגריים קודם: 150 : 6 = 25. אפשר לבדוק בכפל, 6 × 25 = 150.
- עכשיו התרגיל הוא 3,000 − 24 × 25, ובו נשארו כפל וחיסור.
- כפל לפני חיסור, גם אם החיסור כתוב לפניו: 24 × 25 = 600. אפשר לחשוב על זה כ-25 × 4 = 100 ואז כפול 6.
- ורק עכשיו החיסור: 3,000 − 600 = 2,400.
- 2,400. מי שהתחיל מ-3,000 − 24 קיבל 74,400, כי הוא שינה את סדר הפעולות.
- אומדים: 500 : 50 = 10, ולכן נצפה לכעשרה אוטובוסים, אולי קצת יותר כי 46 קטן מ-50.
- מחלקים: 46 × 10 = 460, ונשארים 500 − 460 = 40 תלמידים. השארית 40 קטנה מ-46, ולכן המנה 10 נכונה.
- אבל כאן עצרו רגע. השארית אינה מספר יבש: היא 40 תלמידים אמיתיים שעוד לא קיבלו מקום.
- עשרה אוטובוסים מסיעים 460 בלבד, ולכן צריך עוד אוטובוס אחד, גם אם ייסע חצי ריק.
- 11 אוטובוסים. זה המקרה שבו מעגלים כלפי מעלה, בניגוד לרוב שאלות השארית: התשובה אינה 10, וגם אינה 10 ושארית 40.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל הקשה: קודם סדר פעולות ופעולות במספרים גדולים, אחר כך חילוק דו-ספרתי ואומדן, ולבסוף סט מאתגר של תרגילים מרובי שלבים ובעיות. אחריהם סט רביעי, משימות פתוחות: שם כותבים בעצמכם, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית. המשימות הפתוחות אינן נספרות בציון, כי לתשובה שלכם יכולות להיות כמה צורות נכונות.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1סדר פעולות: סוגריים, אחר כך כפל וחילוק, ורק בסוף חיבור וחיסור.
- 2אומדן: חישוב עם מספרים נוחים, שנעשה לפני ואחרי.
- 3חילוק דו-ספרתי: מעגלים לניחוש, מתקנים עם המחלק האמיתי.
- 4שארית: תמיד קטנה מהמחלק, ולפעמים היא התשובה עצמה.
- 5בדיקה בכפל: מחלק כפול מנה, ועוד השארית, חוזר למחולק.
