ממוצע, שכיחות וקצב
שלושת הנושאים של הפרק הזה נראים רחוקים זה מזה, אבל הם עונים על אותה שאלה: כמה יוצא לאחד. השכיחות סופרת כמה פעמים ערך הופיע, והשכיחות היחסית אומרת איזה חלק מכולם הוא. הממוצע מיישר את כולם לגובה אחד, כאילו התחלקו בשווה. והקצב שואל כמה נעשה ביחידת זמן אחת. בפרק הזה נלמד גם משהו שקל לפספס: המספר הגדול יותר אינו תמיד החלק הגדול יותר.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות שבהן כותבים ומנמקים. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
כל נקודה היא תלמיד אחד. לחצו על עמודה כדי להוסיף תשובה, ועברו למצב הסרה כדי להוריד.
ממוצע 6, ואף אחד לא קיבל 6. לשלושה ילדים יש 4 סוכריות לכל אחד, ולשלושה אחרים יש 8 לכל אחד. הכול יחד: 12 + 24 = 36 סוכריות בין שישה ילדים, כלומר 36 : 6 = 6. הממוצע הוא שש - אבל אין בקבוצה אף ילד אחד שיש לו שש. הממוצע אינו מספר שמישהו קיבל; הוא הגובה שכולם היו מגיעים אליו אילו חילקו הכול מחדש בשווה.
שלושה כלים, ושאלה אחת שמתחתם
שכיחות היא ספירה: כמה פעמים ערך הופיע. סכום כל השכיחויות בטבלה שווה תמיד למספר הנבדקים, ולכן אם חסרה שכיחות אחת אפשר להשלים אותה בחיסור. שכיחות יחסית היא השכיחות חלקי סך הכול, והיא נכתבת כשבר: 12 מתוך 40 הם 1240, ובצמצום 310. זה הכלי שמאפשר להשוות בין קבוצות בגדלים שונים, וזה בדיוק המקום שבו נופלים: 14 מתוך 32 הם פחות מחצי, ואילו 9 מתוך 18 הם בדיוק חצי. ממוצע הוא הסכום חלקי מספר האיברים, והוא תמיד ערך ביניים - בין הקטן ביותר לגדול ביותר, אף שאינו חייב להיות אחד מהם ואינו חייב לצאת שלם. קצב הוא אותו חילוק בדיוק, רק שהמחלק הוא זמן: 180 קופסאות ב-3 שעות הן 180 : 3 = 60 קופסאות בשעה.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק הזה בודק.
שכיחות
כמה פעמים ערך הופיע. סכום כל השכיחויות = מספר הנבדקים, ולכן שכיחות חסרה מתקבלת בחיסור.
שכיחות יחסית
שכיחות חלקי סך הכול, ככתיב שבר: 12 מתוך 40 הם 1240, כלומר 310.
גדול אינו בהכרח חלק גדול
14 מתוך 32 קטן מחצי, ואילו 9 מתוך 18 הם חצי בדיוק. משווים חלקים, לא ספירות.
ממוצע
סכום : מספר האיברים. תמיד ערך ביניים, לא חייב להיות אחד מהם, ולא חייב לצאת שלם.
חשיבה הפוכה
מהממוצע חוזרים אל הסכום: סכום = ממוצע × מספר האיברים. אחר כך מחסרים ומוצאים את החסר.
קצב
כמה ליחידה אחת. 240 ליטר ב-8 דקות הם 30 ליטר לדקה, ומכאן אפשר גם לחזור אל הזמן.
שלוש דוגמאות פתורות
השלמת שכיחות חסרה וחישוב שכיחות יחסית, חשיבה הפוכה מממוצע נתון, ומעבר מקצב אל זמן.
- סכום כל השכיחויות שווה למספר הנבדקים, כלומר ל-25.
- מחברים את מה שידוע: 5 + 7 + 4 = 16.
- מחסרים: 25 − 16 = 9. זו השכיחות שנמחקה.
- שכיחות יחסית היא שכיחות חלקי סך הכול: 725.
- אפשר לצמצם? 7 ראשוני ואינו מחלק את 25, ולכן 725 כבר מצומצם.
- השכיחות החסרה היא 9, והשכיחות היחסית המבוקשת היא 725.
- הממוצע נולד מחילוק, ולכן חוזרים אחורה בכפל: סכום = ממוצע × מספר האיברים.
- 32 × 5 = 160. זה מספר הזרים בכל חמשת המשלוחים יחד.
- מחברים את שלושת המשלוחים הידועים: 40 + 26 + 28 = 94.
- מחסרים מן הסכום המלא: 160 − 94 = 66. זה מה שנשאר לשני המשלוחים האחרונים יחד.
- ורק כאן מגיע השלב שקל לדלג עליו: הנתון אומר ששני המשלוחים שווים, ולכן מחלקים ביניהם: 66 : 2 = 33.
- בודקים: 40 + 26 + 28 + 33 + 33 = 160, ו-160 : 5 = 32. מתאים לנתון.
- בכל אחד משני המשלוחים האחרונים היו 33 זרים. מי שעצר ב-66 ענה על שניהם יחד, ולא על אחד.
- קודם מוצאים את הקצב, כלומר כמה לשעה אחת: 180 : 3 = 60 קופסאות בשעה.
- עכשיו השאלה היא כמה פעמים 60 נכנס בתוך 300.
- 300 : 60 = 5.
- בודקים בכיוון ההפוך: 60 × 5 = 300. מתאים.
- חמש שעות. שימו לב לסדר: קודם יורדים ליחידה אחת, ורק אחר כך עולים חזרה.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל הקשה: קודם ספירה וקריאת נתונים, אחר כך הממוצע עצמו, ולבסוף סט מאתגר של חשיבה הפוכה, קצב והכרעה בלי לחשב. אחריהם סט רביעי, משימות פתוחות: שם כותבים בעצמכם, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית. המשימות הפתוחות אינן נספרות בציון, כי לתשובה שלכם יכולות להיות כמה צורות נכונות.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1שכיחות: ספירה, וסכום כל השכיחויות הוא מספר הנבדקים.
- 2שכיחות יחסית: שכיחות חלקי סך הכול, וזה מה שמאפשר להשוות קבוצות בגדלים שונים.
- 3ממוצע: סכום : מספר איברים, ותמיד ערך ביניים.
- 4חשיבה הפוכה: סכום = ממוצע × מספר איברים, ומשם משלימים את החסר.
- 5קצב: קודם יורדים ליחידה אחת, ורק אחר כך עולים חזרה.
