שש דרגות, ובכל אחת נוסף דבר אחד
משוואה היא שאלה, ולא תרגיל: היא שואלת איזה ערך צריך לשבת במקום האות כדי ששני האגפים ייצאו שווים. מי שקורא אותה ככה כבר יודע גם איך לבדוק את עצמו, כי בדיקה של פתרון היא פשוט הצבה חזרה ומדידה של שני האגפים.
הפרק בנוי כסולם בן שש דרגות. הדרגה הראשונה היא משוואה שנפתרת בצעד אחד, והשישית היא משוואה שיש בה סוגריים בשני האגפים. בין כל שתי דרגות סמוכות נוסף מבנה אחד בלבד, וכתוב במפורש מהו. אם נתקעתם באחת מהן, רדו דרגה: כמעט תמיד מה שחסר נמצא שם.
בפרק שש כרטיסיות ובכל אחת דוגמה קטנה שנפתרה, שלוש דוגמאות ארוכות, 18 שאלות סגורות וארבע משימות פתוחות.
אל שער החוברת
מאזניים אינם מתעניינים במה מונח עליהם. אם על שתי הכפות מונח משקל שווה, אפשר להוריד מכל אחת מהן בדיוק אותו דבר, והן יישארו מאוזנות. זה כל הכלל של פתרון משוואה. בכתיב x + 4 = 9 שתי הכפות שוות, ולכן מותר להוריד 4 משתיהן ולקבל x = 5. מה שאסור הוא להוריד מכף אחת בלבד, וזו הטעות שקשה לראות בפתרון של עצמך: השורה נראית מסודרת, המספרים נראים נכונים, והאיזון כבר נשבר.
למה בכלל יש סדר לצעדים
מה שנצמד לנעלם, ובאיזה סדר. אל הנעלם יכולים להיצמד שני דברים: מקדם, שכופל אותו, ומחובר, שנוסף לו. כשהם מופיעים יחד, מורידים קודם את המחובר ואחר כך את המקדם. הסיבה פשוטה: המחובר הוא החיצוני מבין השניים, כמו שכפפה שנעולה מעל שרוול מוסרת ראשונה. מי שמתחיל דווקא מן המקדם חייב לחלק גם את המחובר, וזה עובד, אבל הוא מכניס שברים לתוך משוואה שלא היו בה.
ומה עושים לפני שמתחילים. שני דברים, ולפי הסדר: אם באגף אחד יש שני איברים שנושאים את אותו נעלם, מכנסים אותם לאיבר אחד. אם יש סוגריים, פותחים אותן בחוק הפילוג, כלומר מכפילים את מה שבחוץ בכל אחד מן האיברים שבפנים ולא רק בראשון. אחרי שני אלה כל משוואה נופלת לאחת הדרגות שכבר מוכרות.
ובסוף תמיד בדיקה. מציבים את הערך שקיבלתם במשוואה המקורית, לא בשורה האחרונה שכתבתם, ומחשבים כל אגף בנפרד. אם שניהם יצאו שווים, הפתרון נכון. אם לא, יש שורה אחת בדרך שבה הפעולה בוצעה באגף אחד בלבד, וכדאי לחפש אותה ולא להתחיל מחדש.
מה חשוב לזכור
שש הכרטיסיות האלה הן שש הדרגות בקטן. בכל אחת כלל, ומיד אחריו משוואה שנפתרה עד הסוף.
מה בכלל מחפשים
לא תוצאה של תרגיל, אלא ערך שיגרום לשני האגפים לצאת שווים. מבודדים את הנעלם בפעולה הפוכה.
דוגמה: x + 3 = 10 → מורידים 3 משני האגפים → x = 7.
בדיקה היא הצבה
מציבים את הערך במקום האות במשוואה המקורית, ומחשבים כל אגף לחוד.
דוגמה: האם x = 4 מקיים את 5x − 2 = 18? האגף השמאלי 5 × 4 − 2 → 18, וזה גם האגף הימני. כן.
מקדם מבטלים בחילוק
כשהנעלם מוכפל במספר, הפעולה ההפוכה היא חילוק. זו טעות נפוצה לחסר את המקדם.
דוגמה: 3x = 21 → מחלקים את שני האגפים ב-3 → x = 7.
קודם המחובר, אחריו המקדם
כשנצמדו לנעלם שניהם, הסדר קבוע: מורידים את המחובר, ורק אז מחלקים במקדם.
דוגמה: 2x + 5 = 17 → 2x = 12 → x = 6.
מכנסים לפני שמבודדים
שני איברים שנושאים את אותו נעלם נאספים לאיבר אחד. זו פעולה בתוך האגף, ולכן אין מה לעשות לאגף השני.
דוגמה: 4x + 2x = 18 → 6x = 18 → x = 3.
סוגריים נפתחות בפילוג
מכפילים את מה שבחוץ בכל אחד מן האיברים שבפנים, ולא רק בראשון.
דוגמה: 3(x + 4) = 21 → 3x + 12 = 21 → 3x = 9 → x = 3.
שלוש דוגמאות ארוכות
בכל שורה כתוב איזו פעולה בוצעה על שני האגפים. זה בדיוק מה שכדאי לרשום גם בפתרונות שלכם.
- מזהים מה נצמד לנעלם: מקדם 4 ומחובר 11. שניהם, ולכן זה פתרון בשני צעדים.
- הצעד הראשון הוא המחובר, כי הוא החיצוני. מורידים 11 משני האגפים ומקבלים 4x = 24.
- עכשיו נשאר מקדם לבדו, והפעולה ההפוכה לכפל היא חילוק. מחלקים את שני האגפים ב-4.
- מתקבל x = 6.
- בדיקה במשוואה המקורית: 4 × 6 + 11 נותן 35, וזה בדיוק האגף הימני. הפתרון נכון.
- הנעלם מופיע בשני האגפים, ולכן הצעד הראשון אינו לבודד אלא לרכז: הנעלמים לאגף אחד, המספרים לשני.
- מורידים 5x משני האגפים. באגף הימני לא נשאר נעלם כלל, ובשמאלי נשארו שלושה. השורה היא 3x − 3 = 12.
- וזו כבר משוואה מוכרת: מקדם ומחובר. המחובר שלילי, ולכן הפעולה ההפוכה היא חיבור. מוסיפים 3 לשני האגפים ומקבלים 3x = 15.
- מחלקים את שני האגפים ב-3 ומקבלים x = 5.
- בדיקה: האגף השמאלי 8 × 5 − 3 נותן 37, והימני 5 × 5 + 12 נותן 37. שווים, ולכן הפתרון נכון.
- בוחרים מה לסמן. השאלה שואלת על מספר הספסלים, ולכן נוח לסמן אותו באות: יהי s מספר הספסלים.
- מתרגמים את הסיפור. על הספסלים יושבים 3s תלמידים, ועוד 4 עומדים, וביחד הם כל הכיתה: 3s + 4 = 34.
- מורידים 4 משני האגפים ומקבלים 3s = 30.
- מחלקים ב-3 ומקבלים s = 10.
- חוזרים אל הסיפור ובודקים שהתשובה סבירה: עשרה ספסלים נושאים 30 תלמידים, ועוד ארבעה עומדים, יחד 34. מספר הספסלים יצא שלם וחיובי, וזה בדיוק מה שצריך לצאת בשאלה כזאת.
תרגול הפרק
הסט הראשון הוא כולו משוואות של צעד אחד, והוא עולה בו לאט: קודם מחובר, אחר כך נעלם שיושב מימין, אחר כך תוצאה שלילית, ורק בסוף מקדם. הסט השני מוסיף את הצעד השני ואת הכינוס, ופותח בבדיקה בהצבה כדי שתדעו לבדוק את עצמכם עוד לפני שאתם פותרים. הסט השלישי הוא נעלם בשני האגפים וסוגריים. בסוף ארבע משימות פתוחות, ובהן גם בניית משוואה מסיפור וגם תיקון פתרון שנשבר.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1משוואה היא שאלה: איזה ערך משווה בין שני האגפים.
- 2כל פעולה על שני האגפים, אחרת נשבר האיזון.
- 3סדר קבוע: קודם המחובר, ואחריו המקדם.
- 4לפני שמבודדים: מכנסים איברים דומים, ופותחים סוגריים בפילוג.
- 5בדיקה בהצבה במשוואה המקורית, ולא בשורה האחרונה שכתבתם.
