שני מספרים לכל נקודה, ומשם אל השטח
מערכת צירים היא דרך לתת לכל נקודה בדף כתובת מדויקת, בשני מספרים. ברגע שיש כתובת, אפשר גם למדוד: אורך של קטע שמקביל לציר הוא פשוט ההפרש בין שני שיעורים, בלי לספור משבצות ובלי סרגל.
הפרק הזה עולה בשלושה שלבים. קודם קוראים נקודה ומסמנים אותה, אחר כך מודדים קטע ומזהים איזו צורה נוצרה מכמה נקודות, ולבסוף מחשבים שטח והיקף של מלבן, של משולש ושל צורה שהורכבה משניים.
ושתי המדידות אינן אותה מדידה. היקף הוא הדרך סביב הצורה, שטח הוא מה שממלא אותה, והן אפילו אינן נמדדות באותן יחידות. חצי מן הטעויות בפרק נולדות מן הבלבול הזה בלבד.
אל שער החוברת
אותם שני מספרים, ושתי נקודות רחוקות זו מזו. הנקודה (2, 7) נמצאת שתי יחידות ימינה מן הראשית ושבע יחידות מעליה. הנקודה (7, 2) נמצאת שבע ימינה ושתיים למעלה. אלה שני מקומות שונים לגמרי בדף, והמרחק ביניהם ניכר לעין. בזוג סדור הסדר אינו נוהג נימוס אלא מידע: המספר הראשון עונה על השאלה כמה זזים לצדדים, והשני על השאלה כמה עולים או יורדים. מי שמחליף ביניהם לא כתב את אותה נקודה בצורה אחרת, הוא כתב נקודה אחרת.
מן השרטוט אל המספר, ולא להפך
קודם רושמים קדקודים. לפני כל חישוב כדאי לכתוב את הנקודות כזוגות סדורים, גם כשהן כבר מסומנות ברשת. זה נשמע מיותר וזה חוסך את רוב הטעויות, כי משם והלאה עובדים על מספרים ולא על ציור.
אחר כך מודדים בהפרש. קטע שמקביל לציר האופקי נמדד בהפרש בין שני שיעורי ה-x, וקטע שמקביל לציר האנכי נמדד בהפרש בין שיעורי ה-y. שימו לב איזה שיעור אינו משתנה: הוא זה שמעיד שהקטע אכן מקביל לציר, וכל עוד הוא לא זהה בשני הקצוות אי אפשר למדוד ככה.
ורק בסוף מציבים בנוסחה. שטח מלבן הוא מכפלת שתי צלעות סמוכות, והיקפו הוא סכום ארבע הצלעות, כלומר פעמיים האחת ופעמיים השנייה. שטח משולש הוא בסיס כפול הגובה אליו, חלקי שתיים, והגובה הוא הקטע מן הקדקוד שממול אל הבסיס, ניצב לו. שתי מידות שנתונות ביחידות שונות זו מזו חייבות לעבור המרה לפני ההצבה ולא אחריה, ובצורה מורכבת מחברים שטחים ואילו בהיקף אין לספור את הצלע הפנימית, שאינה על שפת הצורה כלל.
שני מספרים, ובסדר קבוע
נקודה נכתבת כזוג סדור. הראשון אופקי ואומר כמה זזים ימינה או שמאלה, השני אנכי ואומר כמה עולים או יורדים. החלפה ביניהם נותנת נקודה אחרת לגמרי.
אפס אומר: על הציר
נקודה שהשיעור האנכי שלה אפס יושבת על הציר האופקי, ונקודה שהשיעור האופקי שלה אפס יושבת על הציר האנכי. הראשית היא הנקודה היחידה ששני שיעוריה אפס.
אורך הוא הפרש
קטע שמקביל לאחד הצירים נמדד בהפרש בין שני השיעורים שאינם שווים. אין צורך לספור משבצות, אבל ספירה היא דרך טובה לאמת את מה שכבר חושב.
שתי מדידות, שתי יחידות
היקף מודד את הדרך סביב הצורה ונמדד ביחידות אורך. שטח מודד כמה משבצות ממלאות אותה ונמדד ביחידות רבועות. שתי צורות יכולות לחלוק היקף ולא שטח.
מה חשוב לזכור
בכל כרטיסייה כלל, ומיד אחריו מקרה קטן שחושב עד הסוף.
זוג סדור
הראשון אופקי, השני אנכי. הסדר קובע.
דוגמה: (5, 2) היא חמש יחידות ימינה מן הראשית ושתיים מעליה, ואילו (2, 5) היא מקום אחר לגמרי.
אפס מושיב על ציר
שיעור אנכי אפס מציב את הנקודה על הציר האופקי, ולהפך.
דוגמה: (6, 0) יושבת על ציר ה-x, ואילו (0, 4) יושבת על ציר ה-y.
אורך הוא הפרש
בקטע שמקביל לציר, אחד השיעורים זהה בשני הקצוות והשני הוא זה שנמדד.
דוגמה: בין (2, 5) ל-(11, 5) השיעור האנכי זהה, וההפרש האופקי 11 − 2 → 9 יחידות.
שטח מלבן
מכפלת שתי צלעות סמוכות, וההיקף הוא פעמיים כל אחת מהן.
דוגמה: צלעות 7 ו-4 → שטח 28 יחידות רבועות, והיקף 22 יחידות.
שטח משולש
בסיס כפול הגובה אליו, חלקי שתיים. הגובה ניצב לבסיס, ואינו בהכרח צלע.
דוגמה: בסיס 9 וגובה 4 → 9 × 4 → 36 → חלקי שתיים → 18 יחידות רבועות.
יחידות לפני הצבה
שתי מידות שאינן באותה יחידה מומרות תחילה, ורק אז נכנסות לנוסחה.
דוגמה: בסיס 0.5 מטר הוא 50 סנטימטרים, ועם גובה 20 סנטימטרים מתקבל 500 סנטימטרים רבועים.
שלוש דוגמאות ארוכות
השלמת מלבן מתוך שני קדקודים, המרת יחידות לפני הצבה, ומשולש שקדקודיו נתונים ברשת.
- הצלעות מקבילות לצירים, ולכן לכל שתי נקודות סמוכות במלבן משותף שיעור אחד: או האופקי או האנכי.
- הקדקוד B חולק עם A את השיעור האנכי ועם C את האופקי, ולכן B(12, 3). באותו אופן D(4, 8).
- מודדים את הצלע האופקית בהפרש בין שיעורי ה-x: 12 − 4 נותן 8 יחידות.
- ואת האנכית בהפרש בין שיעורי ה-y: 8 − 3 נותן 5 יחידות.
- שטח: 8 × 5 נותן 40 יחידות רבועות. היקף: פעמיים שמונה ופעמיים חמש, כלומר 26 יחידות.
- שימו לב שהשטח וההיקף אינם מספרים דומים ואף אינם באותן יחידות. אימות מהיר: בכל שורה שמונה משבצות, ויש חמש שורות.
- לפני שנוגעים בנוסחה בודקים את היחידות, ומגלים שהן אינן זהות: מטר מול סנטימטר.
- בוחרים את היחידה שהתשובה מבוקשת בה, כלומר סנטימטרים, וממירים אליה. 0.6 מטר הם 60 סנטימטרים, כי במטר יש 100 סנטימטרים.
- עכשיו שתי המידות באותה יחידה: בסיס 60 וגובה 25.
- מציבים: 60 × 25 נותן 1500, וחלקי שתיים נותן 750.
- השטח 750 סנטימטרים רבועים. מי שיציב 0.6 ו-25 כמו שהם יקבל 7.5, ולא ירגיש שמשהו שגוי, כי המספר נראה סביר לגמרי.
- מתחילים מן הבסיס. ל-A ול-B אותו שיעור אנכי, ולכן AB מקביל לציר האופקי ואפשר למדוד אותו בהפרש: 11 − 3 נותן 8 יחידות.
- הגובה אל AB הוא הקטע מן הקדקוד C אל הישר שעליו יושב AB, ניצב לו. הישר הזה הוא הישר שכל נקודותיו בגובה 2.
- אורך הגובה הוא לכן ההפרש בין השיעור האנכי של C ובין 2: 8 − 2 נותן 6 יחידות.
- שימו לב שהשיעור האופקי של C כלל לא נכנס לחישוב. הוא קובע איפה הגובה פוגש את הבסיס, ולא כמה הוא ארוך.
- מציבים: 8 × 6 נותן 48, וחלקי שתיים נותן 24.
- השטח 24 יחידות רבועות. אילו היה C מוזז ימינה או שמאלה בלי לשנות את גובהו, המשולש היה נראה אחרת לגמרי ושטחו היה נשאר זהה.
תרגול הפרק
הסט הראשון נשאר בשאלה איפה הנקודה: קריאה, סימון, ציר, ומדידה של קטע לפי הפרש. הסט השני עובר אל שתי המדידות, שטח והיקף, ומוסיף בסופו צורה מורכבת. הסט השלישי מחבר את השניים ומגיע גם אל מידה שמסומנת באות, ומיד אחריה אל הצבה שמחזירה מספר. בסוף ארבע משימות פתוחות.
בכל שאלה שיש בה נקודות, כתבו קודם את הקדקודים על הדף. זה נראה מיותר וזה כמעט תמיד חוסך את הטעות.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1זוג סדור: הראשון אופקי, השני אנכי, והסדר הוא מידע.
- 2אורך קטע המקביל לציר הוא ההפרש בין שני השיעורים שאינם שווים.
- 3שטח משולש: בסיס כפול הגובה אליו, חלקי שתיים.
- 4יחידות ממירים לפני ההצבה, לא אחריה.
- 5שטח ביחידות רבועות, היקף ביחידות אורך. אלה שתי מדידות שונות.
