לפני שמחשבים, מסתכלים
רוב הביטויים בפרק הזה אפשר לחשב עד הסוף, וזה בדיוק מה שלא תמיד כדאי לעשות. כשמישהו שואל אם (−7)⁴ × (−2)³ × (−5) חיובי או שלילי, מי שמתחיל לכפול מבזבז דקה שלמה על שאלה שנפתרת בספירת גורמים אחת. הפרק הזה מלמד את שני הדברים יחד: לחשב נכון, ולדעת מתי אפשר להכריע בלי לחשב.
לצידם נכנס כלי שני, והוא הסימן המובהק של תכנית מצוינות: לחשב ביטוי כשידוע רק צירוף של משתנים ולא כל משתנה לחוד. אם נתון ש-x − y = 4, אפשר לענות על שאלות שלמות מבלי לדעת מה x ומה y.
מחכות כאן שמונה עשרה שאלות סגורות, ואחריהן ארבע משימות פתוחות שכולן מבקשות הנמקה ולא רק תוצאה.
חזרה לשער החוברת
שתי שאלות שנראות אותו הדבר, ואינן. (−4)² ו-−4² בנויים מאותם שני תווים ומאותו מעריך, ורק מקום הסוגריים שונה. בראשון הסוגריים לוקחות את המינוס פנימה, ולכן מכפילים (−4) × (−4) ומקבלים 16. בשני אין סוגריים, החזקה חלה על הארבע לבדה, והמינוס נשאר בחוץ וממתין לסוף: −16. אותה שאלה, שתי תשובות שרחוקות זו מזו ב-32. סוגריים אינן קישוט.
שלושה מהלכים שהפרק בנוי עליהם
המהלך הראשון: לפרק תרגיל ארוך לשלבים. סדר הפעולות אינו רשימה לשינון אלא סדר עבודה: קודם מה שבתוך הסוגריים, אחר כך חזקות ושורשים, אחר כך כפל וחילוק משמאל לימין, ולבסוף חיבור וחיסור. תרגיל שנפתר בשורה אחת בראש הוא תרגיל שאי אפשר לבדוק, ולכן כאן כותבים כל שלב בנפרד גם כשהתוצאה קצרה.
המהלך השני: להוציא סוגריים בזהירות. חוק הפילוג נוגע בכל איבר שבפנים, ולא רק בראשון. וכשלפני הסוגריים עומד סימן חיסור, הוא הופך את הסימן של כל האיברים: 8c − (3c − 5) הופך ל-8c − 3c + 5, והחמש חוזרת חיובית. זו השגיאה שנופלים בה יותר מכל אחרת בפרק.
המהלך השלישי, והוא החדש כאן: לזהות צירוף ידוע בתוך ביטוי שנראה אחר. אם נתון ש-m : n = 4, הביטוי (m + 7n) : n נראה כאילו הוא דורש למצוא את שני המשתנים. הוא אינו דורש: מפצלים אותו לשני שברים בעלי אותו מכנה, הראשון הוא בדיוק הצירוף הידוע, והשני נקרא ישירות מן המקדם. הפיצול הזה הוא כל הפתרון, וכל שאלה מן הסוג הזה נפתחת בו.
סוגריים
כל מה שנמצא בין סוגריים מסתיים לפני שנוגעים במה שמחוצה להן. סוגריים בתוך סוגריים נפתחות מן הפנימית החוצה.
חזקה ושורש
כאן נקבע הסימן, ולא בסוף. מעריך זוגי מבטל מינוס, מעריך אי-זוגי משאיר אותו, ושורש ריבועי מחזיר ערך שאינו שלילי.
כפל וחילוק
שניהם באותה דרגה, ולכן מבצעים אותם לפי סדר הופעתם משמאל לימין. חילוק אינו נדחה לסוף רק מפני שהוא נראה קשה.
חיבור וחיסור
אחרונים, וגם הם משמאל לימין. בשלב הזה הביטוי כבר אמור להיות רשימה של מספרים בלבד.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות, וכל אחת מהן היא כלל שהתרגול נשען עליו במפורש.
סדר פעולות מורחב
סוגריים, אחר כך חזקה ושורש, אחר כך כפל וחילוק לפי הסדר משמאל לימין, ולבסוף חיבור וחיסור. חילוק אינו נדחה לסוף רק מפני שהוא נראה קשה.
מינוס לפני סוגריים
סימן חיסור לפני סוגריים הופך את הסימן של כל איבר שבפנים. בדקו איבר איבר, ולא רק את הראשון שנתקלתם בו.
מעריך זוגי ואי-זוגי
בסיס שלילי עם מעריך זוגי נותן תוצאה חיובית, ועם מעריך אי-זוגי נשאר שלילי. הסימן נקבע מן המעריך לבדו, לפני שנגעתם בגודל.
ספירת גורמים שליליים
במכפלה ארוכה סופרים כמה גורמים שליליים יש. מספר זוגי שלהם נותן תוצאה חיובית, ואי-זוגי נותן שלילית. זו הכרעה, לא ניחוש.
צירוף ידוע
כשנתון ערכו של צירוף כמו a + b או m : n, מחפשים אותו בתוך הביטוי החדש ומציבים אותו כמקשה אחת. אין צורך במשתנים עצמם.
ריבוע לעולם אינו שלילי
ביטוי שבנוי מריבוע ועוד מספר חיובי אינו יכול לרדת מתחת לאותו מספר. זה נימוק שלם, והוא עובד לכל הצבה בלי לבדוק ולו אחת.
שלוש דוגמאות פתורות
תרגיל שסדר הפעולות בו לא סלחני, פישוט שיש בו מינוס לפני סוגריים, והצבה של שבר שלילי.
- אין כאן סוגריים שצריך לפתוח, ולכן מתחילים בחזקה: (−3)² הוא 9, כי המעריך זוגי.
- עכשיו החילוק והכפל, לפי הסדר משמאל לימין: 42 : (−7) נותן −6, ו-2 × 9 נותן 18.
- נשארו חיבור אחד: −6 + 18.
- התוצאה 12. מי שיחבר לפני שיכפיל יקבל מספר אחר לגמרי, ומי שיכתוב −9 במקום 9 בשלב הראשון יסטה איתו עד הסוף.
- מזהים קודם מיהו הגורם המפלג. לפני הסוגריים עומד סימן חיסור ואחריו 2, ולכן הגורם הוא −2.
- מפלגים על שני האיברים: −2 × 3b נותן −6b, ו-−2 × (−4) נותן +8.
- הביטוי נפרש כולו: 7 − 6b + 8 + b.
- מכנסים בשתי קבוצות נפרדות. איברי המשתנה: −6b + b הם −5b. המספרים: 7 + 8 הם 15.
- הביטוי המפושט הוא −5b + 15. הטעות הרווחת היא לכתוב −8 במקום +8, מפני ששוכחים שמינוס כפול מינוס הוא פלוס.
- מציבים, ותמיד בסוגריים: 12 × (−12)² − (−12).
- קודם החזקה. ריבוע של −12 הוא 14, כי המעריך זוגי והסוגריים לקחו את המינוס פנימה.
- הכפל: 12 × 14 נותן 3.
- האיבר השני הוא חיסור של ערך שלילי, כלומר חיבור: 3 + 12.
- התוצאה 312, כלומר 3.5. מי שיציב בלי סוגריים יקבל −14 בשלב החזקה, ומשם כל השאר סוטה.
תרגול הפרק
הסט הראשון מכני, והוא נוגע בסדר פעולות, בפילוג ובכינוס. השני עובר להצבה ולצירופים ידועים, ובו נכנס הרעיון של חישוב בלי לדעת את המשתנים. השלישי מאתגר, וברובו אין בו חישוב עד הסוף אלא הכרעה מנומקת. אחריהם סט רביעי, משימות פתוחות, שבו כותבים בעצמכם ואז נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1סדר פעולות: סוגריים, חזקה ושורש, כפל וחילוק משמאל לימין, ואז חיבור וחיסור.
- 2מינוס לפני סוגריים: הופך את הסימן של כל איבר, ולא רק של הראשון.
- 3סימן לפני גודל: סופרים גורמים שליליים, ומכריעים בלי לחשב.
- 4צירוף ידוע: מזהים אותו בתוך ביטוי חדש, ומציבים אותו כמקשה אחת.
- 5הנמקה: ריבוע אינו שלילי, וזה נימוק שמכסה את כל ההצבות בבת אחת.
