לענות על שאלת חילוק בלי לחלק
האם 7,394,112 מתחלק בארבע? יש דרך אחת לענות, והיא לחלק. יש דרך שנייה, והיא להסתכל בשתי הספרות האחרונות בלבד ולסיים בשנייה. הפרק הזה הוא כולו על הדרך השנייה: סימני התחלקות, שאריות, זוגיות, פירוק לגורמים, מחזוריות ובסיסי ספירה.
הוא גם מלמד סוג אחר של תשובה. עד עכשיו תשובה נכונה הייתה מספר; כאן, ברוב השאלות, תשובה נכונה היא נימוק שמכסה את כל המקרים. להראות שסכום שני מספרים אי-זוגיים יצא זוגי בשלוש דוגמאות אינו מוכיח דבר, וההצגה הכללית 2n + 1 מוכיחה הכול בשורה אחת.
יש כאן שמונה עשרה שאלות סגורות וארבע פתוחות, וברוב הפתוחות התשובה היא נימוק ולא מספר.
חזרה לשער החוברת
דוגמה אחת שמפריכה שווה יותר ממאה שמאשרות. קחו את הטענה: כל מספר שמתחלק בשתיים ובארבע מתחלק גם בשמונה. 16 מאשר אותה, 24 מאשר, 32 מאשר, 40 מאשר. ארבע דוגמאות מאשרות, והטענה עדיין שקרית: 12 מתחלק בשתיים ובארבע ואינו מתחלק בשמונה. מספר אחד הפיל אותה כולה. זו האסימטריה שהפרק הזה בנוי סביבה: כדי להפריך די בדוגמה אחת, וכדי לאשר לא די באף כמות של דוגמאות.
שלושה כלים, ומה כל אחד מהם באמת עושה
סימני התחלקות. כל אחד מהם הוא קיצור דרך שנשען על מבנה המספר בבסיס עשר. ההתחלקות בשתיים, בחמש ובעשר נקבעת מספרת האחדות לבדה, כי כל שאר המקומות נושאים עשרות ומעלה ומתחלקים ממילא. ההתחלקות בארבע נקבעת משתי הספרות האחרונות, מפני שכל מאה מתחלקת בארבע. וההתחלקות בשלוש ובתשע נקבעת מסכום הספרות. מבחן מורכב מורכב משניים: כדי לבדוק התחלקות בשש בודקים שתיים ושלוש יחד, וכדי לבדוק שתים עשרה בודקים שלוש וארבע. חשוב ששני הגורמים לא יחלקו זה את זה: שתיים ושש אינם מספיקים לשתים עשרה, וזו טעות שקל ליפול בה.
שארית. אפשר למצוא אותה בלי לבצע את החלוקה כולה, ואפשר להשתמש בה כדי לפסול: אם מספר מסוים משאיר בחלוקה בשש את השארית שתיים, הוא לעולם לא יופיע ברשימת הכפולות של שש. השארית היא גם הכלי לשאלות מחזוריות, כמו איזה יום יהיה בעוד מאה ימים.
ההצגה הכללית. מספר זוגי נכתב 2n ומספר אי-זוגי נכתב 2n + 1, ושלושה מספרים עוקבים נוח לכתוב סביב האמצעי: n − 1, n, n + 1. ברגע שהמספרים כתובים כך, טענה על כולם הופכת לתרגיל אלגברי קצר, וזו הדרך היחידה לנמק על אינסוף מקרים בשורה אחת.
ספרת האחדות
אם היא זוגית, המספר זוגי. שאר הספרות נושאות עשרות ומעלה, וכל עשרת מתחלקת בשתיים ממילא. אותו נימוק בדיוק עובד גם לחמש ולעשר.
סכום הספרות
סוכמים את כל הספרות ובודקים את הסכום. אם הוא עדיין גדול, סוכמים שוב. אותו מבחן, במספר גדול יותר, משמש גם לתשע.
שתי האחרונות
כל מאה שלמה מתחלקת בארבע, ולכן היא אינה יכולה לשנות את התשובה. נשאר להסתכל במה שקטן ממאה, כלומר בשתי הספרות האחרונות.
שני מבחנים יחד
מפרקים את המחלק לשני גורמים שאף אחד מהם אינו מחלק את השני, ומריצים את שני המבחנים. לשש: שתיים ושלוש. לשתים עשרה: שלוש וארבע.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמסכמות את הכלים שהתרגול נשען עליהם.
ספרת האחדות
היא לבדה מכריעה התחלקות בשתיים, בחמש ובעשר. אין צורך להסתכל בשום ספרה אחרת, ולא משנה כמה ספרות יש במספר.
סכום הספרות
מכריע התחלקות בשלוש ובתשע. אם הסכום עצמו עדיין גדול, אפשר לסכם שוב את ספרותיו, וזה לא משנה את התשובה.
שתי הספרות האחרונות
מכריעות התחלקות בארבע, מפני שכל מאה שלמה מתחלקת בארבע ולכן אינה משפיעה על התשובה.
מבחן מורכב
להתחלקות בשש בודקים שתיים ושלוש, ולשתים עשרה בודקים שלוש וארבע. שני הגורמים חייבים להיות כאלה שאף אחד מהם אינו מחלק את השני.
שארית
המספר שנשאר אחרי שהוצאנו את כל הכפולות השלמות. היא תמיד קטנה מן המחלק, והיא הכלי לפסילה ולשאלות מחזוריות.
הצגה כללית
2n הוא זוגי כלשהו, 2n + 1 הוא אי-זוגי כלשהו. משפט אחד עליהם הוא משפט על אינסוף מספרים.
שלוש דוגמאות פתורות
מבחן מורכב, שארית שנמצאת בלי לחלק, ונימוק כללי שמחליף אינסוף בדיקות.
- מפרקים את המחלק לשני גורמים שאף אחד מהם אינו מחלק את השני: 18 הוא 2 × 9, וזה צירוף מתאים.
- המבחן הראשון, התחלקות בשתיים: ספרת האחדות היא 8, והיא זוגית. עבר.
- המבחן השני, התחלקות בתשע: סכום הספרות הוא 4 + 1 + 5 + 8, כלומר 18, וגם הוא מתחלק בתשע. עבר.
- שני המבחנים עברו, ולכן המספר מתחלק ב-18. שימו לב למה 3 × 6 לא היה עובד: השלוש מחלקת את השש, ולכן שני המבחנים אינם עצמאיים ושניהם יחד חלשים מן הדרוש.
- לא מחלקים. סוכמים את הספרות: 5 + 2 + 8 + 1 נותן 16.
- הסכום עדיין גדול מתשע, ולכן סוכמים שוב: 1 + 6 נותן 7.
- המספר הזה קטן מתשע, ולכן זו כבר השארית עצמה.
- השארית היא 7. אפשר לאמת בחלוקה מלאה, אבל הנקודה כאן היא בדיוק שאין בכך צורך: סכום הספרות משאיר בחלוקה בתשע את אותה שארית כמו המספר עצמו.
- מה שאסור לעשות: לבדוק 3 × 4, 7 × 8 ו-11 × 12 ולומר שזה תמיד. שלוש דוגמאות אינן טענה על כל המספרים.
- ההצגה הכללית. נסמן את הראשון ב-n, ואז השני הוא n + 1.
- מפצלים לשני מקרים, ושניהם יחד מכסים הכול. אם n זוגי, המכפלה מכילה גורם זוגי ולכן היא זוגית.
- ואם n אי-זוגי, אז n + 1 הוא בהכרח זוגי, והמכפלה שוב מכילה גורם זוגי.
- אין מקרה שלישי, כי כל מספר שלם הוא או זוגי או אי-זוגי. שני המקרים הובילו לאותה מסקנה, ולכן הטענה נכונה לכל זוג עוקבים בלי יוצא מן הכלל.
תרגול הפרק
הסט הראשון הוא סימני התחלקות ושאריות, השני עובר לזוגיות, להצגה כללית ולפירוק לגורמים, והשלישי מאתגר ונוגע בכפולה משותפת, במחזוריות, בבסיס ספירה ובדוגמה נגדית. אחריהם סט רביעי, משימות פתוחות, ובו שלוש מארבע המשימות מבקשות נימוק שמכסה את כל המקרים ולא תשובה מספרית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1סימני התחלקות: אחדות לשתיים ולחמש, סכום ספרות לשלוש ולתשע, שתי אחרונות לארבע.
- 2מבחן מורכב: שני גורמים שאף אחד מהם אינו מחלק את השני, ושניהם יחד.
- 3שארית: נמצאת בלי לחלק, ופוסלת מספרים מרשימת כפולות.
- 4הצגה כללית: 2n ו-2n + 1 הופכים טענה על אינסוף מספרים לתרגיל קצר.
- 5דוגמה נגדית: מפריכה לבדה. דוגמה מאשרת אינה מוכיחה דבר.
