שלוש תשובות אפשריות, ולא אחת
עד עכשיו למשוואה היה פתרון, והשאלה הייתה רק כמה זמן ייקח למצוא אותו. בפרק הזה הדבר משתנה: למשוואה יכול להיות פתרון יחיד, יכולה להיות קבוצת פתרונות ריקה, ויכול להיות שכל מספר מקיים אותה. שלוש התוצאות אמיתיות באותה מידה, ולכל אחת יש סימן היכר משלה בתוך הפתרון עצמו.
ונכנס כאן עוד דבר שלא היה קודם: תחום ההצבה. ברגע שהנעלם יושב במכנה, יש ערכים שאסור להציב מלכתחילה, וערך כזה נפסל גם אם החישוב מחזיר אותו. פתרון שמאפס מכנה אינו פתרון קטן יותר, הוא פשוט אינו פתרון.
יש כאן שמונה עשרה שאלות סגורות וארבע משימות פתוחות.
חזרה לשער החוברת
המשתנה נעלם. עכשיו מתחילה השאלה. בפתרון של 6x − 4 = 2(3x − 2) + 1 האיקסים מתבטלים משני האגפים ונשארת הטענה −4 = −3, שהיא פשוט לא נכונה. בפתרון של 3(x + 2) = 3x + 6 האיקסים מתבטלים גם הם, ונשארת הטענה 6 = 6, שהיא נכונה תמיד. אותה תופעה בדיוק, שני האגפים איבדו את המשתנה, ושתי תשובות הפוכות לגמרי: לראשונה אין ולו פתרון אחד, ולשנייה יש אינסוף. מי שעוצר ברגע שהמשתנה נעלם לא יידע להבחין ביניהן.
ארבעה מהלכים, ומתי כל אחד מהם
להיפטר ממכנים. כשיש במשוואה שברים מספריים, מכפילים את שני האגפים במכנה המשותף הקטן ביותר ומסיימים איתם. שתי אזהרות: המכפלה חלה על כל איבר בשני האגפים, גם על איבר שאין לו מכנה כלל; ומונה שהוא ביטוי שלם נשמר בסוגריים בעת ההכפלה, אחרת הסימנים בתוכו מתקלקלים.
לרשום תחום הצבה, ואז לפתור. אם הנעלם מופיע במכנה, מסמנים מראש אילו ערכים מאפסים אותו ופוסלים אותם לפני שמתחילים. בסוף בודקים אם הפתרון שהתקבל נמצא בתחום, וערך שאינו בתחום נפסל בלי דיון.
שבר שווה לאפס, ומכפלה שווה לאפס. שני מבנים שנראים מסובכים ונפתרים במבט אחד. שבר מתאפס רק כאשר המונה מתאפס, ולכן מסתכלים במונה בלבד ואחר כך בודקים שהערך אינו מאפס גם את המכנה. ומכפלה מתאפסת רק כאשר אחד הגורמים מתאפס, ולכן משווים כל גורם לאפס בנפרד ומקבלים שני פתרונות.
להמשיך עד הסוף. כשהמשתנה מתבטל, אין לעצור. קוראים את הטענה המספרית שנשארה: אם היא שקרית קבוצת הפתרונות ריקה, ואם היא נכונה כל מספר מקיים את המשוואה. שתי המסקנות דורשות משפט, ולא סימן שאלה.
נעלם במכנה
רושמים תחילה אילו ערכים מאפסים את המכנה, ופוסלים אותם. רק אחר כך מכפילים במכנה ופותרים, ובסוף בודקים שהתוצאה נמצאת בתחום שרשמנו.
שבר שווה לאפס
שבר מתאפס רק כאשר המונה מתאפס, ולכן מתעלמים מן המכנה בשלב הפתרון. בסוף חוזרים אליו כדי לוודא שהערך שהתקבל אינו מאפס גם אותו.
מכפלה שווה לאפס
מכפלה מתאפסת רק אם אחד הגורמים מתאפס. משווים כל גורם לאפס בנפרד, ומקבלים שני פתרונות במקום אחד.
המשתנה נעלם
ממשיכים עד הסוף וקוראים את הטענה שנשארה. טענה שקרית פירושה קבוצת פתרונות ריקה, וטענה נכונה פירושה שכל מספר מקיים את המשוואה.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות, וכל אחת מהן היא מבנה שהתרגול נשען עליו.
מכנה משותף
מכפילים את שני האגפים במכנה המשותף הקטן ביותר. כל איבר מוכפל, גם איבר שאין לו מכנה, ומונה שלם נשמר בסוגריים.
תחום הצבה
נעלם במכנה מחייב לרשום מראש אילו ערכים אסורים. הרשימה נכתבת לפני הפתרון, לא אחריו.
שבר שווה לאפס
שבר מתאפס רק כשהמונה מתאפס. פותרים את המונה לבדו, ואז מוודאים שהערך אינו מאפס גם את המכנה.
מכפלה שווה לאפס
מכפלה מתאפסת רק אם אחד הגורמים אפס. משווים כל גורם לאפס בנפרד, ומקבלים שני פתרונות ולא אחד.
קבוצה ריקה
אם אחרי שהמשתנה התבטל נשארה טענה מספרית שקרית, אין ערך שמקיים את המשוואה. זו תשובה מלאה.
כל המספרים
אם נשארה טענה נכונה, שני האגפים היו מלכתחילה אותו ביטוי בשתי צורות, וכל הצבה מקיימת את המשוואה.
שלוש דוגמאות פתורות
סוגריים בשני האגפים, שברים שנעלמים במכפלה אחת, ונעלם במכנה עם תחום הצבה.
- פותחים את שתי קבוצות הסוגריים לפני שמעבירים משהו: משמאל 5x − 10, ומימין 2x + 14.
- אוספים את איברי המשתנה לאגף אחד ואת המספרים לשני: 5x − 2x = 14 + 10.
- מכנסים כל אגף בנפרד: 3x = 24.
- מחלקים במקדם: x = 8.
- בדיקה בהצבה, כל אגף לחוד. שמאל: 5 × (8 − 2) נותן 30. ימין: 2 × (8 + 7) נותן 30. שווים, ולכן הפתרון אושר.
- המכנים הם 3 ו-5, והמכנה המשותף הקטן ביותר הוא 15.
- מכפילים את כל אגף ב-15, כולל את ה-8 שאין לה מכנה כלל.
- 15 חלקי 3 נותן 5, ולכן האיבר הראשון הופך ל-5x. 15 חלקי 5 נותן 3, ולכן השני הופך ל-3x. באגף ימין מתקבל 120.
- נשאר 8x = 120, ומכאן x = 15.
- בדיקה: 153 הוא 5, ו-155 הוא 3, וסכומם 8 בדיוק. שימו לב שהמכנים נעלמו בשלב אחד, ולא איבר אחר איבר.
- קודם התחום, לפני הפתרון. המכנה מתאפס כאשר x + 1 = 0, כלומר כאשר x = −1. לכן תחום ההצבה הוא כל x השונה מ-−1.
- עכשיו מכפילים את שני האגפים ב-x + 1, וזה מותר בתוך התחום שרשמנו: 9 = 3(x + 1).
- מחלקים בשלוש: 3 = x + 1, ומכאן x = 2.
- בודקים מול התחום. 2 אינו −1, ולכן הפתרון מותר.
- בדיקה בהצבה: 92 + 1 הוא 93, כלומר 3, וזה בדיוק האגף הימני. אילו החישוב היה מחזיר −1, היינו פוסלים אותו וכותבים שקבוצת הפתרונות ריקה, ולא כותבים אותו כפתרון.
תרגול הפרק
הסט הראשון הוא הטכניקה: סוגריים, מקדמים עשרוניים ומכנים מספריים. השני נכנס למבנים החדשים: נעלם במכנה ותחום הצבה, שבר שמתאפס, מכפלה שמתאפסת ושבר בתוך שבר. השלישי מאתגר, ובו פרמטר, שרשראות הנמקה, ומשוואה שהתשובה עליה אינה מספר. אחריהם סט רביעי, משימות פתוחות.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1מכנים: מכפלה אחת בכל האגפים, ומונה שלם נשמר בסוגריים.
- 2תחום הצבה: נרשם לפני הפתרון, ופוסל גם ערך שהחישוב החזיר.
- 3מבנים: שבר מתאפס מן המונה, מכפלה מתאפסת מגורם אחד.
- 4שלוש תוצאות: פתרון יחיד, קבוצה ריקה, או כל המספרים.
- 5הצבה חוזרת: כל אגף מחושב בנפרד, וזו הבדיקה היחידה שאינה נשענת על זיכרון.
