שני תנאים בבת אחת, ולא זה אחרי זה
למשוואה אחת בשני נעלמים יש אינסוף פתרונות: x + y = 10 מתקיים עבור (1, 9), עבור (4, 6) ועבור אינסוף זוגות נוספים. מערכת אינה שתי שאלות זו אחר זו, אלא שאלה אחת: איזה זוג מקיים את שני התנאים יחד. ברוב המקרים יש זוג אחד כזה בדיוק, וזה מה שהופך שני תנאים רופפים לתשובה חדה.
הנושא הזה שייך לכיתה ח, והוא נמצא כאן מפני שתלמידי מופ"ת פוגשים אותו כבר בכיתה ז. בחוברת הרגילה של אותו מעבר הוא אינו קיים כלל. נלמד את שתי השיטות, ההצבה והשוואת המקדמים, ונלמד לבחור ביניהן לפי מבנה המערכת ולא לפי הרגל.
שמונה עשרה שאלות סגורות מחכות כאן, ואחריהן ארבע משימות פתוחות.
חזרה לשער החוברת
הזוג (4, 2) עונה על שאלה אחת, ונופל בשנייה. קחו את x + y = 6: הזוג הזה מקיים אותה בדיוק. עכשיו קחו את 2x − 3y = 3: הזוג נותן 2 במקום 3, ולכן הוא נופל. במערכת אין חצי פתרון. זוג שמקיים תנאי אחד ומפר את השני אינו קרוב לפתרון, הוא פשוט אינו פתרון, וזו הסיבה שבדיקה נעשית תמיד בשתי המשוואות ולא באחת מהן.
שתי שיטות, ומתי כל אחת מהן
הצבה. מבודדים משתנה אחד באחת המשוואות, ומציבים את הביטוי שהתקבל במשוואה השנייה. אחרי ההצבה נשארת משוואה אחת בנעלם אחד, וזו כבר משוואה מוכרת. השיטה הזאת נוחה במיוחד כשמשתנה כבר מבודד, או כשמקדמו 1 ולכן הבידוד אינו מייצר שברים. מה שקורה בסוף חשוב לא פחות: אחרי שמצאתם משתנה אחד, חוזרים אל הביטוי שבודד ומוצאים גם את השני, ורק אז יש תשובה.
השוואת מקדמים. מכפילים משוואה אחת, ולפעמים את שתיהן, כך שלאחד המשתנים יהיו בשתיהן מקדמים נגדיים או שווים. אז חיבור או חיסור של שתי המשוואות מוחק אותו לגמרי. השיטה נוחה כשאין משתנה עם מקדם 1, וכשהמקדמים כבר קרובים.
ואיך בוחרים. מסתכלים במערכת לפני שמתחילים. אם משתנה מבודד או מקדמו 1, ההצבה כמעט תמיד קצרה יותר. אם באותו משתנה יש בשתי המשוואות מקדמים נגדיים, כמו +2y ו-−2y, השוואת מקדמים היא כמעט חינם. ובכל מקרה, לפני שבוחרים: פותחים סוגריים, מסלקים מכנים, ומסדרים את שתי המשוואות לצורה שבה המשתנים באותו סדר. סידור מוקדם חוסך יותר זמן משתי השיטות יחד.
ובסוף, תמיד: כותבים את התשובה כזוג סדור, ומציבים אותה בשתי המשוואות בנפרד.
לסדר
פותחים סוגריים, מסלקים מכנים, ומעמידים את המשתנים באותו סדר בשתי המשוואות. השלב הזה נראה מיותר, והוא זה שקובע כמה עבודה תהיה בהמשך.
לבחור שיטה
משתנה מבודד או מקדם אחד מזמינים הצבה. מקדמים נגדיים או שווים מזמינים השוואת מקדמים. הבחירה נעשית אחרי הסידור ולא לפניו.
למחוק משתנה
אחרי ההצבה או אחרי החיבור נשארת משוואה אחת בנעלם אחד, וזו כבר משוואה מוכרת מן הפרק הקודם.
לחזור ולבדוק
חוזרים כדי למצוא גם את המשתנה השני, כותבים זוג סדור, ומציבים אותו בשתי המשוואות בנפרד. אחת אינה מספיקה.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות, וכל אחת מהן היא החלטה שהתרגול דורש.
הצבה
מבודדים משתנה, מציבים את הביטוי במשוואה השנייה, ומקבלים משוואה בנעלם אחד. אחר כך חוזרים כדי למצוא גם את השני.
השוואת מקדמים
מכפילים משוואה, או את שתיהן, עד שאחד המשתנים נושא מקדמים נגדיים או שווים, ואז מחברים או מחסרים ומוחקים אותו.
לסדר לפני שבוחרים
פותחים סוגריים, מסלקים מכנים, ומעמידים את המשתנים באותו סדר בשתי המשוואות. רק אז אפשר לראות איזו שיטה נוחה.
זוג סדור
התשובה היא זוג, ובסדר קבוע: תחילה x ואחריו y. אותם שני מספרים בסדר הפוך הם תשובה אחרת.
בדיקה בשתיהן
מציבים את הזוג בשתי המשוואות בנפרד. זוג שמקיים אחת בלבד אינו פתרון של המערכת, ואין דבר כזה כמעט פתרון.
שני משתנים, שתי משמעויות
בבעיה מילולית כותבים במילים מה כל משתנה מייצג, לפני המשוואות. בלי זה אי אפשר לדעת אם התשובה עונה על השאלה.
שלוש דוגמאות פתורות
הצבה כשמשתנה כבר מבודד, השוואת מקדמים אחרי הכפלה אחת, ומערכת שנבנית מסיפור.
- המשוואה הראשונה כבר נותנת את y דרך x, ולכן ההצבה מתבקשת ואין צורך בשום סידור מוקדם.
- מציבים את הביטוי כולו במקום y במשוואה השנייה: x + (3x − 2) = 10.
- מכנסים ומקבלים 4x − 2 = 10, ומכאן 4x = 12, כלומר x = 3.
- לא עוצרים כאן. חוזרים אל הביטוי שבודד: y = 3 × 3 − 2, כלומר y = 7.
- הפתרון הוא הזוג הסדור (3, 7). בדיקה בשתי המשוואות: הראשונה נותנת 7 = 7, והשנייה נותנת 10 = 10. שתיהן מתקיימות.
- אין כאן משתנה מבודד, אבל מקדמי x קרובים: 4 ו-2. מכפילים את המשוואה השנייה בשתיים ומקבלים 4x − 2y = 2.
- עכשיו לשתי המשוואות אותו מקדם ל-x, ולכן חיסור ימחק אותו: (4x + 3y) − (4x − 2y) = 27 − 2.
- באגף שמאל ה-x מתבטל, ונשאר 3y − (−2y), כלומר 5y. באגף ימין 25.
- מכאן y = 5. מציבים במשוואה השנייה המקורית: 2x − 5 = 1, ומכאן x = 3.
- הפתרון הוא (3, 5). בדיקה בשתי המשוואות: 12 + 15 נותן 27, ו-6 − 5 נותן 1. שימו לב לסימן בעת החיסור: זו הנקודה שנופלים בה יותר מכל.
- מגדירים במילים לפני הכול. p הוא מחיר פיצה אחת בשקלים, ו-d הוא מחיר משקה אחד בשקלים.
- מתרגמים כל משפט למשוואה: 2p + 3d = 104 ו-p + 2d = 58.
- במשוואה השנייה מקדם ה-p הוא 1, ולכן הבידוד אינו מייצר שברים וההצבה נוחה: p = 58 − 2d.
- מציבים בראשונה: 2(58 − 2d) + 3d = 104, כלומר 116 − 4d + 3d = 104, ומכאן −d = −12, כלומר d = 12.
- חוזרים: p = 58 − 24, כלומר p = 34.
- מפרשים בחזרה אל הסיפור: פיצה עולה 34 שקלים ומשקה 12 שקלים. בדיקה בשני התנאים: 68 + 36 נותן 104, ו-34 + 24 נותן 58. גם הסבירות מתקיימת, שכן שני המחירים חיוביים.
תרגול הפרק
הסט הראשון מריץ את שתי השיטות על מערכות מסודרות, השני מוסיף עשרוניים, מכנים, בדיקה ובחירת שיטה, והשלישי מאתגר: מפגש ישרים במערכת הצירים, מערכות שאין להן פתרון יחיד, והסקה ממערכת שכבר נפתרה. אחריהם סט רביעי, משימות פתוחות.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1מערכת: שני תנאים שמתקיימים יחד, ולא זה אחרי זה.
- 2הצבה: נוחה כשמשתנה מבודד או כשמקדמו 1.
- 3השוואת מקדמים: נוחה כשהמקדמים כבר נגדיים או קרובים.
- 4לסדר קודם: סוגריים, מכנים, וסדר משתנים אחיד.
- 5בדיקה: זוג סדור, ובשתי המשוואות בנפרד.
