כל שורה במשוואה נשענת על השורה שמעליה
זהו הפרק הארוך של החוברת, והוא גם הפרק שכל השאר נשענים עליו: האחוזים שבפרק 2 נפתרים במשוואה, וגם נקודת האפס שבפרק 3. נתחיל מן הצעד הקטן ביותר, בידוד נעלם שנוספה לו כמות אחת, ונעלה מדרגה בכל פעם עד לשורה שיש בה שני מקבצי סוגריים. בדרך נעצור ארבע פעמים על הסוגריים, מפני שזה המקום שבו נשברות הכי הרבה שרשראות: אחרי מספר חיובי, אחרי מספר שלילי, אחרי סימן הפחתה שאין אחריו מספר כתוב, ובשורה שיש בה שני מקבצים. ונסיים בשלוש תוצאות שנראות מוזרות ואינן: אפס, כל מספר, ואין פתרון.
בפרק הזה 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
אין ברירה נכונה אחת. יש שתי דרכים חוקיות, ואחת מהן קצרה יותר. קחו את 4(x + 5) = 32. אפשר לחלק קודם את שני הצדדים ב-4, לקבל x + 5 = 8, ומשם x = 3. ואפשר לפתוח קודם את הסוגריים, לקבל 4x + 20 = 32, אחר כך 4x = 12, ומשם אותו x = 3. שתי הדרכים חוקיות ושתיהן נכונות, ובכל זאת אחת מהן קצרה בצעד. מה שהכריע הוא שאלה אחת: האם המספר שמעבר לשוויון מתחלק במספר שלפני הסוגריים. כשהתשובה כן, החלוקה קודמת. כשהיא לא, הפתיחה חוסכת שבר באמצע הדרך. זה אינו טריק, וזו הסתכלות על השורה לפני שמתחילים לכתוב.
למה סימן הפחתה מהפך את כל מה שבסוגריים
הכלל "מינוס לפני סוגריים מהפך את הכול" נשמע כמו גזרה, והוא בעצם הכפלה רגילה שמישהו לא טרח לכתוב. כשכתוב a − (x + 7), הסימן שלפני הסוגריים הוא הכפלה ב-1−, ופשוט לא כותבים את ה-1 מפני שהכפלה ב-1 אינה משנה כלום. ברגע שכותבים אותו, הכול מתיישב: −1 · x הוא −x, ו-−1 · 7 הוא −7. שני האיברים התהפכו, ולא רק הראשון. וזו בדיוק הנפילה: מי שכותב a − x + 7 הפך רק את מה שראה קודם. אפשר גם לבדוק את זה במספרים בלי אלגברה: 30 − (10 + 4) הוא 16, ואילו 30 − 10 + 4 הוא 24. אלה שני דברים שונים לגמרי, וההבדל ביניהם הוא בדיוק אותם 8 שהאיבר השני נושא איתו כשהוא מתהפך או לא.
מספר חיובי לפני הסוגריים
המספר מוכפל בכל איבר שבפנים, ולא רק בראשון. הסימנים שבתוך הסוגריים נשמרים כמות שהם.
מספר שלילי לפני הסוגריים
אותה הכפלה בדיוק, ובנוסף לה כל סימן שבפנים מתהפך. איבר חיובי נעשה שלילי, ואיבר שלילי נעשה חיובי.
סימן הפחתה בלי מספר
כשלפני הסוגריים יש סימן הפחתה בלבד, קראו אותו כאילו כתוב שם 1−. אז ברור למה כל האיברים מתהפכים.
שני מקבצים באותה שורה
פותחים כל מקבץ בנפרד ורק אחר כך מאחדים. מי שמאחד לפני הפתיחה מערבב איברים שעוד לא הוכפלו.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק הזה בודק. כולן חוזרות על חומר של כיתה ח, ואין בהן נושא חדש.
מה מותר לעשות למשוואה
מותר להוסיף, לחסר, להכפיל ולחלק את שני הצדדים באותו דבר, ובחילוק בכל דבר שאינו אפס. כל מהלך כזה נותן משוואה שקולה, כלומר בעלת אותה תשובה בדיוק. מהלך שנעשה לצד אחד בלבד אינו חוקי, ומשם והלאה כבר פותרים משוואה אחרת.
מספר לפני הסוגריים
המספר מוכפל בכל איבר בפנים. אם הוא שלילי, ההכפלה מהפכת בדרך גם את הסימנים. אחרי הפתיחה מכנסים איברים דומים: הנעלמים אל הנעלמים והמספרים אל המספרים, וכל אחד בצד שלו.
סימן הפחתה בלי מספר
כשלפני הסוגריים יש סימן הפחתה בלבד, קראו אותו כאילו כתוב שם 1−. אז אין מה לזכור: זו הכפלה ככל הכפלה, וכל איבר בפנים מחליף סימן. זו הנפילה השכיחה ביותר בפרק, והדרך היחידה להימנע ממנה היא לכתוב את ה-1 עד שזה נעשה אוטומטי.
מקדם שברי
כשהנעלם מחולק במספר, מכפילים את שני הצדדים כולם באותו מספר. הזהירות היחידה, והיא גדולה: מכפילים גם את האיברים שאין בהם שבר. מי שמכפיל רק את השבר מאבד איבר שלם, ומקבל תשובה שלא תעבור את הבדיקה.
שלוש תוצאות שנראות מוזרות
אפס הוא תשובה ככל תשובה, ולא סימן שמשהו השתבש. אם הנעלם מתבטל משני הצדדים ונשאר שוויון נכון, כל מספר מקיים את המשוואה. ואם נשאר שוויון שאינו נכון, אין מספר שמקיים אותה. שלושתן מצבים לגיטימיים, ולא טעויות.
הבדיקה, ואיתור טעות
אחרי כל פתרון מציבים את התשובה בשורה המקורית ובודקים ששני הצדדים משתווים. ואם נתבקשתם למצוא טעות בפתרון כתוב, אל תפתרו מחדש: רדו שורה שורה ובדקו על כל מעבר אם הוא נעשה לשני הצדדים. השורה הראשונה שלא, היא הטעות.
שלוש דוגמאות פתורות
סוגריים בצד אחד ונעלם בשני, סימן הפחתה שלפניו מספר, ומשוואה שיש בה מקדם שברי. בשלושתן הבדיקה היא חלק מן הפתרון ולא תוספת.
- פותחים את הסוגריים. ה-5 מוכפל בשני האיברים שבפנים ומתקבל 5x + 15. השורה כולה: 5x + 15 = 2x + 24.
- אוספים נעלמים לצד אחד. מחסרים 2x משני הצדדים ומקבלים 3x + 15 = 24.
- אוספים מספרים לצד השני. מחסרים 15 משני הצדדים ומקבלים 3x = 9.
- מחלקים ב-3 ומתקבל x = 3.
- בדיקה בשורה המקורית: בצד אחד 5 · 6 שהוא 30, ובצד השני 6 + 24 שהוא גם 30. השוויון התקיים, ולכן הפתרון עומד.
- פותחים את הסוגריים תחילה, ורק אותם. המספר שלפניהם הוא 3−, ולכן −3 · x הוא −3x, ו-−3 · (−2) הוא +6.
- השורה נעשית 20 − 3x + 6 = 8. שימו לב ש-20 לא נגע בו איש: הוא היה מחוץ לסוגריים מלכתחילה.
- מכנסים את המספרים שבצד אחד: 26 − 3x = 8.
- מבודדים. מחסרים 26 משני הצדדים ומקבלים −3x = −18, ומחלקים ב-3− ומתקבל x = 6. שני מספרים שליליים בחלוקה נותנים תוצאה חיובית.
- בדיקה: בתוך הסוגריים 6 − 2 שהוא 4, כפול 3 שהוא 12, ו-20 − 12 שהוא 8. זה בדיוק הצד השני, ולכן נכון.
- מכפילים את שני הצדדים ב-4, כי זה המספר שהנעלם מחולק בו. ההכפלה חלה על כל איבר בשני הצדדים.
- מקבלים x + 28 = 48. שימו לב ש-7 נעשה 28, ולא נשאר 7. זה השלב שבו רוב הטעויות בשאלה כזאת נולדות.
- מבודדים: מחסרים 28 משני הצדדים ומקבלים x = 20.
- אפשר גם בלי הכפלה: אם x4 + 7 הוא 12, אז x4 הוא 5, ולכן x הוא 5 · 4. אותה תשובה, ודרך קצרה יותר כשהמספרים נוחים.
- בדיקה: 204 הוא 5, ועוד 7 הוא 12. זה הצד השני בדיוק.
תרגול הפרק
הסולם כאן צפוף בכוונה, ובכל סט המדרגה עולה במעט: קודם בידוד הנעלם ונעלם בשני הצדדים, אחר כך כל ארבעת מקרי הסוגריים, ולבסוף מקדם שברי, שלוש התוצאות המוזרות, ותרגום ממילים לשוויון. אחריהם סט רביעי, ארבע משימות פתוחות: מתקנים פתרון שבור, ממציאים משוואה, פותרים בעיה מילולית ומשווים בין שתי דרכים. המשימות הפתוחות אינן נספרות בציון, מפני שנימוק והמצאה של דוגמה אינם ניתנים לבדיקה אוטומטית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1מהלך חוקי נעשה לשני הצדדים גם יחד. משם מגיע כלל החלפת הסימן.
- 2מספר לפני סוגריים מוכפל בכל איבר בפנים, ולא רק בראשון.
- 3סימן הפחתה לבדו הוא הכפלה ב-1−, ולכן כל האיברים מתהפכים.
- 4מקדם שברי: מכפילים את שני הצדדים, וגם את האיברים שאין בהם שבר.
- 5אפס, כל מספר, ואין פתרון הן שלוש תוצאות לגיטימיות ולא טעויות.
- 6בודקים תמיד בשורה המקורית, ולא בשורה שכבר שינינו.
