על רשת, אורך הוא הפרש בין שני מספרים
זהו הפרק האחרון, והוא הגאומטריה של החוברת. שימו לב מה הוא כן ומה הוא לא: כאן מודדים ומחשבים, ולא בונים טיעון. אין בפרק הזה משפט פיתגורס, אין חפיפת משולשים, אין דמיון ואין אף הוכחה, וזו הכרעה מודעת שכתובה גם בשער החוברת. מה שכן יש: קודקוד שנמסר בשני מספרים, ומכאן כל השאר. אורך של דופן הוא הפרש בין שיעורים, ולכן מלבן שקודקודיו נתונים אינו דורש סרגל. משם נמשיך למשולש שיש לו דופן אופקית, לצורה מורכבת שמפרקים לשני מלבנים, ולשאלה שקל מאוד לפספס גם כשכל החשבון נכון: את מה בדיוק ביקשו, את גודל המשטח או את אורך המסגרת שסביבו.
בפרק הזה 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות.
חזרה לשער החוברת
שתי צורות יכולות לחלוק מסגרת באותו אורך בדיוק ולכסות שטח שונה לגמרי. קחו חוט שאורכו עשרים סנטימטרים וסגרו בו מלבן. אפשר לעשות ממנו מלבן צר וארוך, וגם מלבן כמעט מרובע. באורך החוט לא נגענו: הוא נשאר בדיוק אותו חוט. אבל השטח שהוא מקיף אינו זהה, והפער אינו קטן. הסיבה היא שהיקף ושטח מודדים שני דברים שונים, ולכן גם נמדדים ביחידות שונות: היקף נמדד ביחידות אורך, מפני שהוא הליכה סביב, ושטח נמדד במשבצות, מפני שהוא כיסוי. וזה עובד גם בכיוון ההפוך: אפשר לכסות את אותו מספר משבצות בדיוק בצורות שיצטרכו מסגרות באורכים שונים מאוד. לכן השאלה "מה גדול יותר, ההיקף או השטח" אינה שאלה: אלה שני דברים שאין ביניהם השוואה.
למה אורך אינו יכול לצאת שלילי
שני קודקודים על אותו גובה, ואחד מהם יושב בשיעור אופקי 5− והשני בשיעור 3. אם נחסר בסדר אחד נקבל 8, ואם נחסר בסדר ההפוך נקבל 8−. שני החישובים נכונים כחיסור, ורק אחד מהם עונה על השאלה, מפני שהשאלה הייתה כמה ארוך הקטע, וקטע אינו יכול להיות ארוך פחות מכלום. מה שמחפשים כאן אינו הפרש עם סימן אלא מרחק, ומרחק הוא תמיד אי שלילי. לכן הכלל המעשי הוא לחסר את הקטן מן הגדול, או לחסר בכל סדר ולקחת את הערך בלי הסימן. שווה לראות למה 8 הוא באמת הנכון: מן ה-5− עד לאפס יש חמש יחידות, ומן האפס עד ל-3 יש עוד שלוש, ויחד שמונה. הספירה הזאת עובדת תמיד, וכשהיא מסכימה עם החיסור אפשר לסמוך על החיסור גם כשהמספרים גדולים מכדי לספור.
אורך של קטע אופקי
שני קודקודים שהשיעור האנכי שלהם זהה יושבים על אותו גובה, ולכן האורך ביניהם הוא ההפרש בין השיעורים האופקיים. תמיד לוקחים את המרחק, ולכן התוצאה חיובית גם כשאחד השיעורים שלילי.
אורך של קטע אנכי
אותו דבר בדיוק בכיוון השני: שיעור אופקי זהה, וההפרש נלקח בין השיעורים האנכיים. מי שמקבל אורך שלילי חיסר בסדר ההפוך, וזה סימן ולא אסון: הופכים.
מלבן שדפנותיו מקבילות לצירים
שתי דפנות אופקיות ושתי אנכיות. די בשני קודקודים נגדיים כדי לדעת הכול, מפני שהשניים האחרים נגזרים מהם. ההיקף הוא סכום ארבע הדפנות, והשטח הוא מכפלת שתיים סמוכות.
משולש על הרשת
מחפשים דופן שמונחת אופקית, וזה הבסיס. הגובה אליו הוא המרחק האנכי מן הקודקוד השלישי אל הישר שעליו הבסיס יושב. מכפילים את השניים ומחלקים בשניים.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק הזה בודק. כולן חוזרות על חומר של כיתה ח, ואין בהן נושא חדש.
אורך מקטע על רשת
קטע אופקי: ההפרש בין השיעורים האופקיים. קטע אנכי: ההפרש בין השיעורים האנכיים. בשני המקרים לוקחים את המרחק ולא את ההפרש עם סימנו, ולכן התוצאה חיובית גם כששיעור אחד או שניים שליליים.
מלבן שדפנותיו מקבילות לצירים
די בשני קודקודים נגדיים: השניים האחרים נגזרים מהם, מפני שכל קודקוד חולק שיעור אחד עם כל אחד משכניו. ההיקף הוא סכום ארבע הדפנות, כלומר כפליים סכום שתיים סמוכות, והשטח הוא מכפלת שתיים סמוכות.
ריבוע כמקרה פרטי
כששתי הדפנות יצאו שוות, זהו ריבוע, ואפשר לקצר: ההיקף הוא דופן אחת כפול ארבע, והשטח הוא הדופן כפולה בעצמה. אין כאן נוסחה חדשה אלא אותה נוסחה עם שני מספרים זהים.
משולש שיש לו דופן אופקית
הדופן האופקית היא הבסיס, והגובה אליו הוא המרחק האנכי מן הקודקוד השלישי אל הישר שעליו הבסיס יושב. מכפילים ומחלקים בשניים. ואם הקודקוד העליון מוסט הצידה, הגובה אינו משתנה, ולכן גם השטח אינו משתנה.
צורה מורכבת
שתי דרכים, וטוב לדעת את שתיהן. לפרק את הצורה לשני מלבנים ולחבר, או להקיף אותה במלבן שלם ולגרוע ממנו את מה שאינו שייך. שתי הדרכים חייבות לתת אותה תוצאה, וזו הבדיקה הטובה ביותר שיש בפרק הזה.
יחידות, ומה בדיוק נשאלתם
היקף נמדד ביחידות אורך, ושטח ביחידות רבועות. וכשהנתונים מגיעים ביחידות מעורבות, ממירים לפני החישוב ולא אחריו. ולבסוף חזרו לשאלה: ביקשו את גודל המשטח, או את אורך המסגרת סביבו.
שלוש דוגמאות פתורות
מלבן שקודקודיו נמסרו בשיעורים, משולש שבסיסו אופקי, וצורה מורכבת שמפרקים אותה בשתי דרכים שונות כדי לבדוק את עצמנו.
- מזהים איזו דופן אופקית ואיזו אנכית. שני הקודקודים הראשונים חולקים את אותו שיעור אנכי, ולכן הקטע ביניהם אופקי. הראשון והאחרון חולקים שיעור אופקי, ולכן הקטע ביניהם אנכי.
- הדופן האופקית: ההפרש בין השיעורים האופקיים. מן ה-2− עד לאפס שתי יחידות, ומן האפס עד ל-6 עוד שש, ויחד 8.
- הדופן האנכית: ההפרש בין 5 ל-1, כלומר 4.
- ההיקף הוא סכום ארבע הדפנות: 8 + 4 + 8 + 4, כלומר 24 יחידות אורך. ואפשר גם בקיצור, כפליים סכום שתיים סמוכות.
- והשטח הוא מכפלת שתי דפנות סמוכות: 8 · 4, כלומר 32 יחידות רבועות. שימו לב ששתי התשובות נושאות יחידות שונות, ולכן אין כאן שני מספרים שאפשר להשוות ביניהם.
- מחפשים דופן אופקית. שני הקודקודים הראשונים יושבים על אותו גובה, ולכן הקטע ביניהם אופקי, וזה הבסיס. אורכו הוא ההפרש בין 9 ל-1, כלומר 8.
- מוצאים את הגובה אליו. הבסיס יושב בגובה 2, והקודקוד השלישי בגובה 8. המרחק האנכי ביניהם הוא 6, וזה הגובה.
- שימו לב שהקודקוד העליון מוסט הצידה, והוא אינו מעל אמצע הבסיס. זה אינו משנה דבר: הגובה נמדד כמרחק אל הישר שעליו הבסיס, ולא אל נקודה מסוימת עליו.
- מכפילים ומחלקים בשניים: 8 · 6 הוא 48, וחציו 24. השטח הוא 24 יחידות רבועות.
- דרך ראשונה, חיתוך אופקי. חותכים בגובה 3 ומקבלים מלבן תחתון שדפנותיו 7 ו-3, ומעליו מלבן שדפנותיו 2 ו-4.
- שטחיהם 7 · 3 שהוא 21, ו-2 · 4 שהוא 8. יחד 29 יחידות רבועות.
- דרך שנייה, חיתוך אנכי. חותכים בשיעור האופקי 2 ומקבלים עמוד שמאלי שדפנותיו 2 ו-7, ולידו מלבן שדפנותיו 5 ו-3. שטחיהם 14 ו-15, ויחד שוב 29.
- שתי הדרכים נתנו את אותה תוצאה, וזו בדיוק הבדיקה. אילו היו נותנות שתי תשובות שונות, היינו יודעים מיד שאחת הדפנות נמדדה לא נכון, ולא היינו צריכים שאיש יאמר לנו זאת.
תרגול הפרק
שלוש קבוצות תרגול, וכל אחת נשענת על זו שלפניה: קודם אורכי מקטעים והשלמת קודקוד, אחר כך משולשים, דופן חסרה וצורות מורכבות, ולבסוף השוואות בין היקף לשטח, יחידות והמרתן, ומה נשמר כשמזיזים צורה. אחריהם סט רביעי, ארבע משימות פתוחות. בכל שאלה עם צורה, שווה להתחיל בספירת משבצות גסה: היא לא תיתן את התשובה, והיא תגלה מיד אם התשובה שקיבלתם רחוקה מן הסביר.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1אורך על רשת הוא הפרש בין שיעורים, ותמיד נלקח כמרחק.
- 2מלבן: די בשני קודקודים נגדיים, והשאר נגזר מהם.
- 3משולש: בסיס אופקי, וגובה שהוא המרחק האנכי אליו.
- 4צורה מורכבת: מפרקים או מקיפים וגורעים, ובודקים בשתי הדרכים.
- 5היקף ושטח נמדדים ביחידות שונות, ולכן אינם ברי השוואה.
- 6ממירים יחידות לפני החישוב, ובסוף בודקים את מה בדיוק ביקשו.
