אפשר לצמצם גורם, ואי אפשר לצמצם מחובר
זהו הפרק הפותח של החוברת המואצת, והוא גם הפרק שכל השאר נשענים עליו: פרק 2 מחבר שברים כאלה, פרק 4 חוזר לפירוק כדי לקרוא נקודות אפס, ופרק 5 מפרק כדי לפתור. שבר אלגברי הוא מנה של שני ביטויים, ולכן שני דברים שלא היו קיימים במספרים נכנסים כאן לתמונה: יש ערכים שאסור להציב, ויש צמצום שמותר רק אחרי שהמונה והמכנה כתובים כמכפלה. בפרק נסדר את ארבע דרכי הפירוק, נראה למה צמצום של מחובר בודד משקר, ואז נכפיל ונחלק.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
אותה ספרה, פעם מצטמצמת ופעם לא. ההבדל אינו במספר אלא בסימן שלפניו. קחו את x + 66. הפיתוי לבטל את שתי הששיות עצום, אבל נסו להציב x = 12: השבר נותן 186 שהוא 3, ואילו הביטול היה נותן 12. שתי תשובות שונות, ולכן הביטול אינו נכון. ועכשיו 6(x + 1)6: כאן 6 אינו מחובר אלא גורם שכופל את כל הסוגריים, ולכן הוא מצטמצם, והתוצאה היא x + 1. הצבת אותו x = 12 נותנת 786 שהוא 13, וגם 12 + 1 הוא 13. זה כל ההבדל, והוא חוזר בכל שאלה בפרק.
ארבע דרכים לפרק, ובאיזה סדר
צמצום מתחיל תמיד באותו מקום: להפוך את המונה ואת המכנה למכפלות. יש לזה ארבע דרכים, והן אינן שוות במעמדן. גורם משותף נבדק ראשון תמיד, מפני שהוא לרוב מקצר את כל השאר; מי שמתחיל בטרינום ומדלג עליו עובד קשה פי שניים. אחריו באות שלוש הדרכים שמזוהות לפי מספר האיברים: שני איברים עם חיסור ביניהם ושניהם ריבועים הם הפרש ריבועים; שלושה איברים שהראשון והאחרון בהם ריבועים והאמצעי כפול מכפלת שורשיהם הם ריבוע של דו איבר; ושלושה איברים שאינם כאלה הם טרינום רגיל, ואז מחפשים זוג מספרים שמכפלתם היא האיבר החופשי וסכומם הוא מקדם האמצע. ויש דרך חמישית קטנה שקל לשכוח: הוצאת מינוס מסוגריים. 5 − x ו-x − 5 נראים כמו שני ביטויים שאין ביניהם דבר, אבל 5 − x = −(x − 5), ולכן הם כן מצטמצמים, ובמחיר של מינוס אחד שנשאר בחוץ.
גורם משותף
מחפשים מה חוזר בכל המחוברים, מספר וגם משתנה, ומוציאים אותו החוצה. זו הדרך שבודקים תמיד ראשונה, לפני כל דרך אחרת.
הפרש ריבועים
שני איברים בלבד, ובאמצע סימן חיסור, וכל אחד מהם ריבוע. מתפרק למכפלה של סכום בהפרש. סכום של שני ריבועים אינו מתפרק כך.
ריבוע של דו איבר
שלושה איברים, שניים מהם ריבועים, והאמצעי כפול מכפלת השורשים שלהם. אז השלשה כולה היא ריבוע אחד.
טרינום ריבועי
מחפשים שני מספרים שמכפלתם היא האיבר החופשי וסכומם הוא מקדם האמצע. כשהמקדם המוביל אינו יחידה, מפצלים קודם את האיבר האמצעי.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק הזה בודק. ארבע מהן על פירוק, ושתיים על מה שעושים אחריו.
מהו שבר אלגברי, ומה אסור בו
ביטוי שהוא מנה של שני פולינומים. מה שמבדיל אותו מביטוי שלם הוא המכנה: יש בו משתנה, ולכן יש ערכים שהצבתם מאפסת אותו. תחום ההצבה נרשם לפני כל פעולה, ולא אחריה, והוא נקבע לפי המכנים שבכתיב המקורי.
גורם משותף, ראשון תמיד
מחפשים מה חוזר בכל המחוברים: מקדם, משתנה, או שניהם. a בחזקה הנמוכה ביותר שהיא מופיעה בה. מי שמדלג על הצעד הזה מגיע לטרינום מסובך מיותר, ולפעמים לביטוי שכלל אינו מתפרק בלעדיו.
שניים או שלושה איברים
שניים עם חיסור ושניהם ריבועים: הפרש ריבועים, ומתפרק למכפלת סכום בהפרש. שלושה שהאמצעי בהם כפול מכפלת שורשי הקצוות: ריבוע של דו איבר. שלושה אחרים: מחפשים זוג מספרים לפי מכפלה וסכום. סכום של שני ריבועים אינו מתפרק כך.
מקדם מוביל שאינו יחידה
כשלפני x² יושב מקדם, מפצלים את האיבר האמצעי לשני מחוברים שמכפלתם שווה למכפלת המקדם המוביל באיבר החופשי, ואז מוציאים גורם משותף מכל זוג בנפרד. השלב הזה מחזיר את הביטוי לצורת מכפלה בלי לנחש.
צמצום: רק גורם שלם
מצמצמים אחרי שכל מונה וכל מכנה כתובים כמכפלה, ומצמצמים גורם שלם ולא מחובר בודד. שני גורמים שהם הפוכים בסימן, כמו x − 4 ו-4 − x, כן מצטמצמים, ובמקומם נשאר −1. את המינוס הזה כותבים, ולא זוכרים.
כפל, חילוק וחזקה
בכפל משאירים הכול מפורק ומצמצמים גם באלכסון, בין מונה של אחד למכנה של השני, לפני שכופלים. חילוק הופך לכפל בהופכי, ואז המכנה החדש מוסיף איסור משלו. חזקה של שבר פועלת על המונה ועל המכנה בנפרד.
שלוש דוגמאות פתורות
צמצום שדורש שתי דרכי פירוק שונות, כפל שנוח לצמצם בו באלכסון, וחילוק שהופך לכפל בהופכי. בשלושתן תחום ההצבה נרשם לפני הפעולה, והבדיקה בהצבה היא חלק מן הפתרון.
- מפרקים את המונה בהוצאת גורם משותף. x מופיע בשני המחוברים, ולכן x² − 5x = x(x − 5).
- מפרקים את המכנה כהפרש ריבועים. שני איברים, חיסור, ושניהם ריבועים, ולכן x² − 25 = (x − 5)(x + 5).
- רק עכשיו רושמים תחום הצבה, מן המכנה המפורק: אסור x = 5 ואסור x = −5, מפני שכל אחד מהם מאפס גורם במכנה.
- מצמצמים את הגורם המשותף (x − 5), ונשאר xx + 5.
- בדיקה בערך מותר, נניח x = 1: השבר המקורי נותן −4−24 שהוא 16, והמפושט נותן 16. שווה, ולכן הפישוט עומד.
- מפרקים כל מונה וכל מכנה. x² − 1 = (x − 1)(x + 1), ובמכנה השני יש גורם משותף: 3x + 18 = 3(x + 6).
- תחום הצבה, לפי שלושת המכנים שהופיעו: אסור x = 1, אסור x = −1 ואסור x = −6.
- מצמצמים באלכסון לפני הכפל. (x + 6) שבמונה הראשון מול (x + 6) שבמכנה השני, ו-(x − 1) שבמונה השני מול (x − 1) שבמכנה הראשון.
- מה שנשאר: במונה 1, ובמכנה 3(x + 1). כלומר 13x + 3.
- בדיקה ב-x = 2: המכפלה המקורית היא 83 כפול 124, שהוא 872 כלומר 19. והמפושט נותן 19. שווה. שימו לב שהצמצום באלכסון חסך כאן פתיחה של מכפלה שלמה.
- הופכים את השבר השני וכופלים בו: x² − 492x + 4 כפול x + 2x + 7.
- מפרקים. המונה הראשון הוא הפרש ריבועים: (x − 7)(x + 7). המכנה הראשון נושא גורם משותף: 2x + 4 = 2(x + 2).
- תחום הצבה, ושימו לב לחדש כאן: אסור x = −2 מן המכנה המקורי, ואסור גם x = −7 אף שהוא היה מונה לפני ההיפוך. אחרי ההיפוך הוא מכנה, ומכנה אינו יכול להתאפס.
- מצמצמים את (x + 2) ואת (x + 7), ונשאר x − 72.
- בדיקה ב-x = 3: השבר הראשון נותן −4010 שהוא −4, השני נותן 105 שהוא 2, והמנה היא −2. והמפושט נותן −42 שהוא −2. שווה.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל הקשה: קודם תחום הצבה, פירוק וצמצום בסיסי, אחר כך כפל, סימנים הפוכים ומקדם מוביל שאינו יחידה, ולבסוף חילוק, שרשראות פעולות ואימות בהצבה. אחריהם סט רביעי, ארבע משימות פתוחות: שם מתקנים פישוט שבור, בונים שבר לפי דרישה, מתרגמים תיאור גאומטרי לשבר אלגברי אחד, ומפשטים שרשרת ארוכה. המשימות הפתוחות אינן נספרות בציון, כי בנייה ונימוק אינם ניתנים לבדיקה אוטומטית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1תחום הצבה נרשם לפני הפעולה, ולפי המכנים של הכתיב המקורי.
- 2גורם משותף נבדק ראשון, ורק אחריו הפרש ריבועים או טרינום.
- 3מצמצמים גורם שלם ולא מחובר. הצבת מספר אחד מוכיחה מיד את ההבדל.
- 4גורמים הפוכים בסימן מצטמצמים, ומשאירים אחריהם −1.
- 5בכפל מצמצמים באלכסון לפני שכופלים, ומשאירים הכול מפורק.
- 6בחילוק הופכים וכופלים, והמכנה החדש מוסיף איסור משלו.
