שני שברים מתחברים רק אחרי שיש להם מכנה אחד
בפרק 1 כפלנו וחילקנו, ושם המכנה כמעט לא הפריע: הוא רק הצטרף למכפלה. כאן הוא הופך לתנאי. אי אפשר לחבר שני שברים שמכניהם שונים, בדיוק כמו במספרים, ולכן כל שאלה בפרק מתחילה באותה שאלה עצמה: מהו המכנה המשותף, ומה הגורם המשלים של כל שבר אליו. אחר כך מגיע השלב שבו נופלים הכי הרבה, והוא קטן ומטופש ואינו קשור לשברים בכלל: מונה שלפניו סימן חיסור צריך סוגריים, אחרת המינוס נוגע באיבר הראשון בלבד. בסוף הפרק נשתמש בכל זה כדי לפתור משוואה, ולפסול פתרון שנפל מחוץ לתחום.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות.
חזרה לשער החוברת
אותו תרגיל, שתי תשובות, וההבדל היחיד הוא זוג סוגריים. קחו את 7xx + 2 − 6x − 3x + 2. המכנים כבר זהים, ולכן אין כאן מכנה משותף לחפש ואין מה להרחיב: כל העבודה במונה. מי שכותב 7x − 6x − 3 מקבל x − 3. מי שסוגר קודם, 7x − (6x − 3), מקבל x + 3. שני איקסים ועוד מספר, וההפרש ביניהם הוא שישה. הסיבה פשוטה: סימן החיסור אינו שייך ל-6x לבדו אלא לכל המונה השני, ובלי הסוגריים הוא שוכח את האיבר האחרון. הצבה מכריעה מיד: ב-x = 1 התרגיל נותן 7 פחות 1, כלומר 2, וגם 1 + 3 הוא 2. הצורה השנייה נופלת.
למה מכנה משותף מזערי, ולא פשוט להכפיל הכול
מכפלת כל המכנים היא תמיד מכנה משותף חוקי, ולכן אפשר לעבוד איתה ולא לטעות. הבעיה אינה בנכונות אלא במחיר. קחו מכנים x − 3 ו-x² − 9. מי שכופל אותם מקבל מכנה ממעלה שלישית, מונה ארוך, ובסוף עוד יצטרך לצמצם כדי להגיע לתשובה שאפשר לקרוא. ומי שמפרק קודם רואה מיד ש-x² − 9 = (x − 3)(x + 3), כלומר שהמכנה השני כבר מכיל את הראשון, ולכן המכנה המשותף המזערי הוא (x − 3)(x + 3) וזהו. הכלל שנובע מכאן קצר: מפרקים את כל המכנים, ולוקחים כל גורם שהופיע ולו פעם אחת, ובחזקה הגבוהה ביותר שראינו אותו בה. ודבר אחד לא משתנה בשתי הדרכים: תחום ההצבה. הוא נקבע לפי כל המכנים שהופיעו בדרך, גם לפי גורם שהתגלה רק אחרי הפירוק, וגם לפי גורם שהצטמצם בסוף ואינו נראה בתשובה.
מכנים זהים
אין מה לחפש. מחברים או מחסרים את המונים בלבד, והמכנה נשאר כמו שהוא. הזהירות היחידה: אחרי סימן חיסור סוגרים את המונה השני בסוגריים.
אחד כפולה של האחר
המכנה הגדול הוא כבר המכנה המשותף. מרחיבים רק את השבר האחד, בגורם המשלים שלו, ולא נוגעים בשני.
הפוכים בסימן
נראים כשני מכנים זרים, ובעצם הם אותו מכנה עם מינוס. מוציאים מינוס מאחד מהם, וכל השבר משנה סימן. אחרי המהלך הזה המכנים זהים.
צריך לפרק קודם
מכנה שהוא טרינום או הפרש ריבועים מסתיר בתוכו גורמים שכבר מופיעים במכנה השני. מפרקים את כולם, ואז המכנה המשותף המזערי נבנה מן הגורמים ולא מן המכפלה השלמה.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את הפרק. שלוש הראשונות על הדרך אל המכנה המשותף, ושלוש האחרות על מה שקורה במונה ואחריו.
המכנה המשותף המזערי
מפרקים את כל המכנים, ואז בונים מכפלה שיש בה כל גורם שהופיע, בחזקה הגבוהה ביותר שהוא הופיע בה. כשמכנה אחד הוא כפולה של האחר, הגדול הוא כבר המשותף. מכפלת כל המכנים חוקית גם היא, אבל תדרוש צמצום בסוף.
הגורם המשלים
לכל שבר יש גורם משלים משלו: מה שחסר למכנה שלו כדי להיות המכנה המשותף. מכפילים בו את המונה, ולא פותחים מיד את המכפלה אלא משאירים אותה בסוגריים עד שכל השברים הורחבו. זה מה שמונע את רוב טעויות הסימן.
מכנים הפוכים בסימן
x − 7 ו-7 − x נראים זרים ואינם. מוציאים מינוס מאחד מהם, 7 − x = −(x − 7), והמינוס עובר לפני השבר כולו. אחרי המהלך הזה המכנים זהים, ואין צורך במכפלה כלל.
סוגריים אחרי חיסור
מונה שבא אחרי סימן חיסור נסגר בסוגריים לפני שפותחים. אחר כך המינוס מחליף את הסימן של כל איבר בפנים, ולא של הראשון בלבד. זו הטעות השכיחה ביותר בפרק, והיא אינה קשורה לשברים אלא לסוגריים.
אחרי הכינוס, לפרק שוב
המונה שהתקבל אינו סוף הדרך. מפרקים אותו ובודקים אם הוא מצטמצם מול המכנה. שבר שאפשר לצמצם ולא צומצם אינו טעות בחשבון, אבל הוא אינו תשובה מפושטת.
תחום ההצבה, ופסילת פתרון
תחום ההצבה מאגד את כל המכנים שהופיעו בדרך, גם מי שנעלם בצמצום. וכשפותרים משוואה, פתרון שנפל על ערך אסור נפסל: הוא אינו פתרון שגוי בחשבון, הוא פשוט אינו שייך לתחום שבו הביטוי בכלל קיים.
שלוש דוגמאות פתורות
חיבור של שני מכנים זרים, חיסור שכל כולו סוגריים, וחיבור שהמכנה המשותף בו מתגלה רק אחרי פירוק. בשלושתן תחום ההצבה נרשם בדרך, והבדיקה בהצבה סוגרת.
- המכנים אינם מתפרקים ואין ביניהם גורם משותף, ולכן המכנה המשותף המזערי הוא פשוט מכפלתם: x(x − 4).
- תחום הצבה: אסור x = 4 ואסור x = 0.
- מרחיבים כל שבר בגורם המשלים שלו. לראשון חסר x, ולשני חסר (x − 4). מקבלים 3xx(x − 4) ועוד 2(x − 4)x(x − 4). שימו לב שהמונה השני נשאר בסוגריים.
- מחברים מונים ומכנסים: 3x + 2x − 8, כלומר 5x − 8. התוצאה היא 5x − 8x² − 4x, והמונה אינו מצטמצם מול המכנה.
- בדיקה ב-x = 2: 3−2 ועוד 22 הוא −0.5, והתוצאה נותנת 2−4 שהוא −0.5. שווה.
- אין מה להרחיב. המכנים כבר זהים, ולכן כותבים מיד מונה אחד מעל אותו מכנה.
- סוגרים בסוגריים לפני שפותחים: (2x + 1) − (x − 5). זה הצעד היחיד שמכריע כאן, וגם הצעד שהכי קל לדלג עליו.
- פותחים. המינוס עובר על שני האיברים שבסוגריים השניות: 2x + 1 − x + 5. שימו לב ש-−5 הפך ל-+5.
- מכנסים: x + 6. התוצאה היא x + 6x + 3, ותחום ההצבה אוסר x = −3.
- בדיקה ב-x = 0: 13 פחות −53 הוא 63 כלומר 2, והתוצאה נותנת 63 שהוא 2. ומי שדילג על הסוגריים היה מקבל x − 4x + 3, שנותן שם −43.
- מפרקים את המכנה הראשון: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). עכשיו רואים שהוא כבר מכיל את המכנה השני.
- לכן המכנה המשותף המזערי הוא (x − 3)(x + 3), ולא מכפלת שני המכנים המקוריים.
- תחום הצבה: אסור x = 3 ואסור x = −3.
- מרחיבים. השבר הראשון כבר על המכנה הנכון, ולשני חסר (x − 3). המונה המשותף הוא 1 + (x − 3), כלומר x − 2.
- התוצאה היא x − 2x² − 9. בדיקה ב-x = 0: 1−9 ועוד 13 הוא 29, והתוצאה נותנת −2−9 שהוא 29. שווה.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות: קודם בניית מכנה משותף והרחבה, אחר כך צירוף, פישוט התוצאה ומבנה שיש בו קו שבר בתוך קו שבר, ולבסוף משוואות, סימן הביטוי בתחום נתון והפרכה בהצבה יחידה. אחריהם ארבע משימות פתוחות: חיבור של שלושה שברים בבת אחת, תיקון שגיאת הרחבה, השוואה בין שתי דרכים לבחור מכנה משותף, ובעיה מילולית שנפתרת במשוואה שברית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1מפרקים את כל המכנים, ורק אז בונים את המכנה המשותף המזערי.
- 2גורם משלים לכל שבר, והמונה מוכפל בו בתוך סוגריים.
- 3מכנים הפוכים בסימן נעשים זהים בהוצאת מינוס אחד.
- 4אחרי חיסור סוגרים בסוגריים, ואז המינוס עובר על כל האיברים.
- 5המונה שהתקבל מפורק ונבדק מול המכנה, אולי הוא מצטמצם.
- 6פתרון שנפל על ערך אסור נפסל, ולפעמים לא נשאר אף פתרון.
