שני ישרים שנכפלים נותנים עקומה אחת
כאן החוברת עוזבת את האלגברה הטהורה ועוברת לגרפים, וזה החומר החדש ביותר בה: פונקציה ריבועית אינה בפריסת ההוראה של כיתה ח, והיא נלמדת בכיתה ט ונמשכת אל כיתה י. הכניסה אליה כאן היא דרך דלת אחת ויחידה, והיא הנוחה שבכולן: הכתיב המכפלתי. כשפונקציה כתובה כמכפלה של שני ביטויים לינאריים, כמעט כל מה שרוצים לדעת עליה קריא ישירות, בלי נוסחה ובלי לפתוח סוגריים. נקודות האפס נמצאות בגורמים עצמם, ציר הסימטריה נמצא באמצע ביניהן, והקודקוד נמצא על הציר הזה. בסוף הפרק תמלאו טבלת אפיון שלמה, ותשרטטו סקיצה משני מספרים ומסימן אחד.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות.
חזרה לשער החוברת
מכפלה מתאפסת בדיוק כשאחד הגורמים מתאפס. זה כל הסוד של הפרק. חשבו על שני ישרים. הראשון מתאפס בנקודה אחת, והשני בנקודה אחרת. עכשיו הכפילו אותם זה בזה, וקבלו פונקציה חדשה. איפה היא מתאפסת? בדיוק בשני המקומות האלה, ולא באף מקום אחר, מפני שמכפלה יוצאת אפס אם ורק אם אחד הגורמים הוא אפס. אין כאן שום צורך בנוסחה: מסתכלים בגורם (x − 6) ואומרים שהוא מתאפס ב-x = 6, ומסתכלים בגורם (x + 1) ואומרים שהוא מתאפס ב-x = −1. ומה שקורה בין שתי הנקודות ומחוצה להן נקבע גם הוא מן הגורמים: בין שתיהן אחד הגורמים חיובי והשני שלילי, ולכן המכפלה שלילית, ומחוץ להן שניהם בעלי אותו סימן, ולכן המכפלה חיובית.
למה הקודקוד יושב באמצע
הטענה שציר הסימטריה עובר באמצע בין שתי נקודות האפס נראית כמו כלל שצריך לזכור, והיא בעצם מסקנה. הנה הנימוק, ואפשר לבדוק אותו בכל דוגמה: הפרבולה סימטרית, ושתי נקודות האפס הן שתי נקודות שגובהן זהה, שכן שתיהן יושבות על הציר האופקי. שתי נקודות בעלות אותו גובה על עקומה סימטרית חייבות להיות במרחקים שווים מציר הסימטריה, אחת מכל צד. ולכן הציר עובר בדיוק באמצע ביניהן, כלומר בממוצע שלהן. וברגע שיודעים היכן הציר, יודעים גם את הקודקוד: שיעורו האופקי הוא הציר, ושיעורו האנכי מתקבל בהצבה פשוטה של אותו מספר בפונקציה. ומכאן נגזרת גם התכונה השימושית ביותר בפרק: לכל נקודה על הפרבולה יש בת זוג בגובה זהה מן העבר השני של הציר, והמרחק בין השתיים נמדד לאורך הציר האופקי בלבד. זו הדרך למצוא נקודה שנייה בלי לפתור דבר, ולחשב אורך של מיתר אופקי בחיסור אחד.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את טבלת האפיון כולה, מן הגורמים ועד הסקיצה.
הכתיב המכפלתי
פונקציה ריבועית כתובה כמכפלה של שני ביטויים לינאריים, ולפניהם לפעמים מקדם. הצורה הזאת אינה פונקציה אחרת מן הצורה הפתוחה: היא אותה פונקציה בדיוק, בכתיב שנוח יותר לקרוא ממנו.
נקודות האפס
קוראים אותן מן הגורמים, אחת לכל גורם. הגורם (x − p) מתאפס ב-x = p, ושימו לב לסימן: הגורם (x + 4) מתאפס ב-x = −4 ולא ב-4. המקדם המוביל אינו משפיע עליהן כלל.
ציר סימטריה וקודקוד
הציר עובר באמצע בין שתי נקודות האפס, כלומר בממוצע שלהן. הקודקוד יושב עליו, ושיעורו האנכי מתקבל בהצבת שיעור הציר בפונקציה. אין צורך בנוסחה נפרדת ואין צורך לפתוח סוגריים.
מה עושה המקדם המוביל
סימנו קובע את כיוון הפתיחה: חיובי נפתח כלפי מעלה והקודקוד הוא ערך מזערי, שלילי נפתח כלפי מטה והקודקוד הוא ערך מרבי. הגודל שלו קובע כמה הפרבולה צרה, ואינו מזיז את נקודות האפס.
ארבעת התחומים
עלייה וירידה נפגשים בציר הסימטריה, וסדרם נקבע מכיוון הפתיחה. חיוביות ושליליות נקבעים מנקודות האפס: הן מחלקות את הציר לשלושה קטעים, ובכל קטע הסימן קבוע. שתי הזוגות אינם אותו דבר, וקל לבלבל ביניהם.
שני מקרים מיוחדים
כששני הגורמים זהים, שתי נקודות האפס מתלכדות והגרף משיק לציר האופקי בנקודה אחת. וכשהפרבולה נפתחת כלפי מעלה וקודקודה מעל הציר, אין לה נקודות אפס כלל, מפני שערכה המזערי כבר חיובי.
שלוש דוגמאות פתורות
אפיון מלא מן הכתיב המכפלתי, מעבר מן הכתיב הכללי אל המכפלתי ואז לסקיצה, ופרבולה שמקדמה המוביל שלילי ולכן הכול בה מתהפך.
- נקודות אפס, ישירות מן הגורמים. (x + 2) מתאפס ב-x = −2, ו-(x − 8) מתאפס ב-x = 8.
- מפגש עם הציר האנכי: מציבים אפס ומקבלים 2 · (−8) שהוא −16, כלומר הנקודה (0, −16).
- ציר הסימטריה באמצע בין −2 ל-8, כלומר x = 3.
- הקודקוד: מציבים 3 ומקבלים 5 · (−5) שהוא −25, ולכן הקודקוד הוא (3, −25). המקדם המוביל חיובי, ולכן זהו ערך מזערי.
- ומכאן ארבעת התחומים: יורדת כאשר x < 3, עולה כאשר x > 3, שלילית בין −2 ל-8, וחיובית מחוץ לקטע הזה. הסקיצה נבנית משלוש הנקודות האלה בלבד.
- הכתיב הכללי אינו מגלה דבר במבט, ולכן מפרקים. מחפשים שני מספרים שמכפלתם −12 וסכומם −4.
- הזוג הוא −6 ו-2, ולכן y = (x − 6)(x + 2). אפשר לבדוק בפתיחה חוזרת של הסוגריים.
- עכשיו הכול קריא. נקודות אפס: 6 ו-−2. ציר סימטריה: x = 2, האמצע ביניהן.
- הקודקוד: הצבת 2 נותנת (−4) · 4 שהוא −16, ולכן (2, −16). המפגש עם הציר האנכי הוא (0, −12), וזה כתוב כבר בכתיב הכללי.
- בדיקה בהצבה אחת, x = 1: הכתיב הכללי נותן 1 − 4 − 12 שהוא −15, והמכפלתי נותן (−5) · 3 שהוא גם −15. שני הכתיבים מתארים אותה פונקציה.
- המקדם אינו נוגע בנקודות האפס. הן עדיין x = −1 ו-x = 3, בדיוק כמו בלעדיו.
- ציר הסימטריה באמצע ביניהן, כלומר x = 1.
- הקודקוד: מציבים 1 ומקבלים −3 · 2 · (−2) שהוא 12, ולכן (1, 12).
- וכאן ההבדל. המקדם שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה, והקודקוד הוא ערך מרבי ולא מזערי. העלייה נמצאת עכשיו משמאל לציר, והירידה מימינו.
- והתחומים מתהפכים גם הם: הפונקציה חיובית בין −1 ל-3, ושלילית מחוץ לקטע. בדיקה ב-x = 0: −3 · 1 · (−3) שהוא 9, חיובי, ובאמת אפס נמצא בין שתי נקודות האפס.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות: קודם נקודות אפס, ציר סימטריה וקודקוד, אחר כך ארבעת התחומים ומעבר בין שני הכתיבים, ולבסוף מקרים מיוחדים, בנות זוג של נקודות ושטח משולש. אחריהם ארבע משימות פתוחות: טבלת אפיון מלאה, השוואה בין שתי פרבולות, תיקון אפיון שסותר את השרטוט, ובניית פרבולות מתוך שתי נקודות אפס נתונות.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס, ומשם באות נקודות האפס.
- 2ציר הסימטריה באמצע בין שתיהן, והקודקוד יושב עליו.
- 3סימן המקדם המוביל קובע את כיוון הפתיחה ואת סוג הקודקוד.
- 4עלייה וירידה נחתכות בציר, וחיוביות ושליליות בנקודות האפס.
- 5בת זוג לכל נקודה, בגובה זהה ומן העבר השני של הציר.
- 6גורמים זהים נותנים השקה, וקודקוד מעל הציר בלי פתיחה כלפי מטה נותן אפס נקודות אפס.
