שני גרפים על אותם צירים, ושאלה אחת שמכריעה
בפרק 4 חקרנו פרבולה אחת. כאן מוסיפים לה ישר, ומיד נפתחות שאלות שלא היו קיימות קודם: היכן השניים נפגשים, אם בכלל; מי מהם גבוה יותר ובאיזה תחום; ואיך בונים ישר חדש שיעבור בדיוק דרך נקודה שמצאנו. הכלי לכל אלה הוא אחד, והוא כבר בידיים שלכם: משווים את שני הביטויים, מקבלים משוואה ריבועית, ומפרקים אותה בדיוק כמו בפרק 1. מה שחדש כאן אינו הפתרון אלא מה עושים איתו: כל שורש נעשה נקודה על השרטוט, ומספר השורשים אומר אם השניים חוצים, נוגעים, או מפספסים זה את זה.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות.
חזרה לשער החוברת
העין נותנת השערה. המשוואה נותנת תשובה. הביטו בשרטוט שבו פרבולה וישר, ונסו לומר איפה הם נפגשים. תקבלו מספר בערך, ואולי אפילו תפספסו נקודה שנייה שיוצאת מחוץ למסגרת. עכשיו עשו זאת אחרת: אם בנקודת מפגש שני הגרפים נמצאים באותו גובה מעל אותו מקום, אז שם, ורק שם, שני הביטויים שווים זה לזה. וזו כבר משוואה, ומשוואה יודעים לפתור. היא תצא ריבועית, ותתפרק לשני גורמים, וכל גורם ייתן שורש, וכל שורש ייתן נקודה. ומה שיפה בשיטה הזאת הוא שגם התשובה "אין מפגש" מתקבלת ממנה, ולא בהסתכלות: אם למשוואה אין פתרון, זה אומר שאין מקום שבו הגבהים משתווים, ולכן הישר עובר כולו מצד אחד.
מתי אפשר להכריע בלי לפתור בכלל
יש מצב אחד שבו החקירה נגמרת לפני שהתחילה, וכדאי לזהות אותו: כשהישר אופקי. ישר אופקי אומר גובה קבוע, והשאלה אם הפרבולה מגיעה לגובה הזה נענית מן הקודקוד ומשום דבר אחר. פרבולה שנפתחת כלפי מעלה מגיעה בקודקוד לערך הנמוך ביותר שלה ואינה יורדת מתחתיו לעולם; ולכן ישר אופקי שגבוה מן הקודקוד ייפגש איתה בשתי נקודות, ישר שעובר בדיוק דרך הקודקוד ייפגש איתה באחת בלבד, וישר שנמוך ממנו לא ייפגש איתה כלל. שלוש התשובות האלה מתקבלות מהשוואה אחת של מספרים, בלי לפתוח סוגריים ובלי לפרק. וכשהישר אינו אופקי אין קיצור כזה, ואז חוזרים לדרך הראשית: משווים, מסדרים לאפס, מפרקים, וסופרים שורשים. שני שורשים שונים הם שתי נקודות, שורש כפול הוא נקודה אחת שבה הישר נוגע ואינו חוצה, ואפס שורשים הם מצב שאין בו מפגש.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות: שלוש על המפגש עצמו, ושלוש על מה שבונים אחריו.
איך מוצאים מפגש
משווים את שני הביטויים זה לזה, מעבירים הכול לעבר אחד, ופותרים את המשוואה הריבועית שהתקבלה בפירוק לגורמים. כל שורש הוא שיעור אופקי, והגובה מתקבל בהצבתו באחת משתי המשוואות. באיזו מהן, לא משנה: בנקודת מפגש שתיהן נותנות אותו דבר.
שלושת המצבים
שני שורשים שונים: הישר חוצה את הפרבולה בשתי נקודות. שורש יחיד: הישר נוגע בה בנקודה אחת, וזו השקה. אין שורש: אין מפגש. מספר השורשים אינו פרט טכני, הוא התיאור המדויק של השרטוט.
מי גבוה ממי
נקודות המפגש מחלקות את הציר לתחומים, ובכל תחום הסדר בין שני הגרפים קבוע ואינו מתחלף. לכן די לבדוק ערך אחד בכל תחום, בהצבה בשתי המשוואות, כדי לדעת מי למעלה בכולו.
ישר משיפוע ומנקודה
שיפוע נתון ונקודה נתונה קובעים ישר יחיד. מציבים את שיעורי הנקודה בצורה הכללית, ומחלצים את המספר החופשי. משתי נקודות מחשבים קודם את השיפוע, מהפרש הגבהים חלקי הפרש השיעורים האופקיים, ואז ממשיכים כרגיל.
מקבילות
שני ישרים מקבילים אם ורק אם שיפועיהם שווים. לכן ישר מקביל לישר נתון שעובר דרך נקודה נתונה נבנה בשני צעדים: לוקחים את השיפוע מן הישר הנתון, ומוצאים את המספר החופשי מן הנקודה.
מיתר אופקי ושטח
שתי נקודות באותו גובה נמצאות במרחקים שווים מציר הסימטריה, ואורך המיתר ביניהן הוא הפרש השיעורים האופקיים. משם קצרה הדרך לשטח: משולש או טרפז שצלעו האחת מיתר כזה, וגובהו נמדד לאורך הציר האנכי.
שלוש דוגמאות פתורות
מפגש של פרבולה עם ישר משופע, שלושה ישרים אופקיים על אותה פרבולה, ובניית ישר מקביל שעובר דרך נקודת מפגש.
- משווים את שני הביטויים. בנקודת מפגש הגבהים שווים, ולכן (x − 2)(x − 8) = x − 8.
- פותחים ומסדרים לאפס. משמאל x² − 10x + 16, ולכן x² − 11x + 24 = 0.
- מפרקים. מחפשים שני מספרים שמכפלתם 24 וסכומם −11, והם −3 ו-−8: (x − 3)(x − 8) = 0. השורשים הם 3 ו-8.
- כל שורש נעשה נקודה. הצבת 3 נותנת 1 · (−5) שהוא −5, והצבת 8 נותנת 6 · 0 שהוא 0.
- נקודות המפגש הן (3, −5) ו-(8, 0). אימות בישר: 3 − 8 הוא −5, ו-8 − 8 הוא 0. שתי המשוואות מסכימות בשתי הנקודות, ולכן הפתרון עומד.
- קודם מוצאים את הקודקוד, מפני שהוא זה שמכריע בישר אופקי. נקודות האפס הן −3 ו-9, ולכן ציר הסימטריה הוא x = 3.
- הצבה נותנת 6 · (−6) שהוא −36, ולכן הקודקוד הוא (3, −36), והפרבולה נפתחת כלפי מעלה.
- הישר y = 0, כלומר הציר האופקי עצמו, גבוה מן הקודקוד, ולכן יש שתי נקודות מפגש, והן נקודות האפס: −3 ו-9.
- הישר y = −36 עובר בדיוק דרך הקודקוד, ולכן יש נקודת מפגש אחת בלבד, וזו השקה.
- והישר y = −40 נמוך מן הקודקוד, ולכן אין מפגש כלל: הפרבולה אינה יורדת מתחת לערכה המזערי. שלוש התשובות התקבלו מהשוואת מספרים, בלי לפתור אף משוואה.
- מוצאים קודם את נקודות המפגש. x² + 2x − 3 = x + 3, ומכאן x² + x − 6 = 0, שמתפרק ל-(x + 3)(x − 2) = 0.
- השורשים הם −3 ו-2. הצבה נותנת (−3, 0) ו-(2, 5). אימות בישר: −3 + 3 הוא 0, ו-2 + 3 הוא 5.
- עכשיו בונים ישר מקביל ל-y = 2x − 1 שעובר דרך (2, 5). מקבילות פירושה שיפוע זהה, ולכן השיפוע הוא 2, והישר הוא y = 2x + b.
- מחלצים את המספר החופשי מן הנקודה: 5 = 4 + b, ומכאן b = 1.
- הישר המבוקש הוא y = 2x + 1. בדיקה: הצבת 2 נותנת 5, כנדרש, והשיפוע זהה לשיפוע הישר הנתון, ולכן השניים אכן מקבילים ואינם נפגשים לעולם.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות: קודם מפגש, השקה, מצב שאין בו מפגש ובניית משוואת ישר, אחר כך מקבילות, מיתרים ושטחים, ולבסוף חקירות מורכבות יותר, ובהן מפגש של שתי פרבולות וזיהוי סוגו של מרובע. אחריהם ארבע משימות פתוחות: חקירה מלאה, סקירה של כל הישרים האופקיים על פרבולה אחת, בניית ישר מקביל דרך נקודת מפגש, ותיקון חקירה שנרשמו בה שני תחומים הפוכים.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1מפגש מתקבל מהשוואת שני הביטויים, ומפתרון המשוואה שנוצרה.
- 2מספר השורשים הוא התיאור: שניים, אחד בהשקה, או אף אחד.
- 3ישר אופקי נבדק מול הקודקוד בלבד, בלי לפתור דבר.
- 4מי גבוה ממי נקבע בבדיקת ערך אחד בכל תחום שבין נקודות המפגש.
- 5מקבילות פירושה שיפוע זהה, והנקודה נותנת את המספר החופשי.
- 6מיתר אופקי נמדד בהפרש השיעורים, ומשם מגיעים לשטח.
