נדב כץלמידה ברמה אחרת
חוברת קיץ · מסיימי כיתה ט׳ · 3 יח״ל 3 יחידות
פרק 1 מתוך 4 · הפונקציה הקווית

הישר: שיפוע, חיתוכים וקריאת גרף

כל ישר במישור נשלט בידי שני מספרים בלבד, ואם תדעו לקרוא אותם תדעו הכול עליו. m הוא השיפוע, והוא קובע אם הישר מטפס, צונח או נשאר בגובה אחיד, וכמה תלול הוא. n קובע דבר אחד: באיזה גובה הישר חוצה את הציר האנכי. בפרק הזה נעבור בשני הכיוונים, מן הנוסחה אל הגרף ומן הגרף אל הנוסחה, נמצא היכן הישר פוגש כל אחד מן הצירים, ונחשב את שטח המשולש שנכלא בינו לבין הצירים.
בפרק 18 שאלות סגורות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות שבהן כותבים ומנמקים. לכל שאלה סגורה הסבר משלה, והוא נפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת

מעבדת הישר הזיזו את השיפוע ואת גובה החצייה, וראו מה זז בגרף ומה נשאר במקום
חיתוך עם הציר האנכי חיתוך עם הציר האופקי

שני מספרים, ושני תפקידים שאינם מתערבבים. קחו את y = 2x + 1 ואת y = 2x − 4. יש להם בדיוק אותה תלילות, הם עולים באותו קצב, והם לעולם לא ייפגשו: שינינו רק את הגובה שבו כל אחד חוצה את הציר האנכי. עכשיו קחו את y = 2x + 1 ואת y = −2x + 1. שניהם יוצאים מאותה נקודה על הציר האנכי, אבל האחד מטפס והאחר צונח. m אחראי לכיוון ולתלילות. n אחראי לגובה. בלבול בין השניים הוא הטעות הנפוצה ביותר בפרק הזה.

מבט מקרוב

לפרק את y = mx + n לגורמים

הצורה המקובלת של משוואת ישר היא y = mx + n. m הוא המקדם של המשתנה, כלומר המספר שצמוד ל-x, ו-n הוא המספר הבודד שעומד בפני עצמו. שימו לב שהזיהוי הזה עובד רק אחרי שהמשוואה סודרה: בכתיב 4y − 12x = 20 אי אפשר לקרוא את השיפוע ישירות, וקודם מבודדים את y ומחלקים את שני האגפים ב-4. סימן השיפוע מכריע את הכיוון: חיובי הוא ישר מטפס, שלילי הוא ישר צונח, ואפס משאיר את הישר אופקי, מפני שאז y אינו תלוי כלל ב-x וערכו קבוע. גודלו של השיפוע, בלי הסימן, מכריע את התלילות: ככל שהוא גדול יותר כך הישר תלול יותר. ולבסוף, כדי לבדוק אם נקודה יושבת על הישר מציבים אותה: אם שני האגפים יוצאים שווים, הנקודה עליו, ואם לא, היא איננה.

שני המספרים ששולטים בישר, וכל אחד לחוד
y = mx + n
m

המקדם של המשתנה

הסימן קובע את הכיוון: חיובי מטפס, שלילי צונח, אפס משאיר אופקי. הגודל, בלי הסימן, קובע את התלילות.

n

המספר הבודד

הגובה שבו הישר חוצה את הציר האנכי, ותו לא. הוא מזיז את הישר כולו למעלה או למטה בלי לשנות את כיוונו.

?

לפני שקוראים

אם המשוואה אינה בצורה הזאת, אי אפשר לקרוא ממנה דבר. קודם מבודדים את המשתנה האנכי, ואז מחלקים את כל האיברים.

✓

נקודה על הישר

מציבים אותה במשוואה. שני אגפים שווים פירושם שהיא עליו, ואגפים שאינם שווים פירושם שאיננה. השרטוט אינו מכריע.

שתי האותיות עובדות בנפרד לגמרי. שינוי באחת אינו נוגע כלל בשנייה, וזה מה שהמעבדה שלמעלה מראה.
שש תזכורות לפני התרגול

מה חשוב לזכור

שש כרטיסיות שמכסות בדיוק את מה שהפרק הזה בודק.

1

y = mx + n

m הוא המקדם של x, ו-n הוא המספר הבודד. שתי אותיות, שני תפקידים שונים לגמרי.

2

סימן השיפוע

m > 0 ישר מטפס. m < 0 ישר צונח. m = 0 ישר אופקי, כי y אינו משתנה כלל.

3

גודל השיפוע

התלילות נקבעת לפי גודל השיפוע בלי תלות בסימן. ישר בעל שיפוע −7 תלול יותר מישר בעל שיפוע 2.

4

n הוא הגובה

הישר חוצה את הציר האנכי בנקודה (0, n). זה הדבר היחיד ש-n עושה, והוא אינו נוגע בתלילות.

5

לסדר לפני שקוראים

ממשוואה שאיבריה מפוזרים בשני האגפים מבודדים קודם את y ואז מחלקים, ורק אחר כך קוראים את m ואת n.

6

חיתוך עם הצירים

עם הציר האנכי: מציבים x = 0. עם הציר האופקי: מציבים y = 0 ופותרים. שתי הצבות, שתי נקודות.

שיפועים שווים
אותו שיפוע ושני ערכי n שונים: שני ישרים מקבילים, שלעולם אינם נפגשים.
שיפועים שונים
אותו n ושני שיפועים שונים: שני ישרים היוצאים מאותה נקודה, ומיד נפרדים.
נפתור יחד, שלב אחרי שלב

שלוש דוגמאות פתורות

סידור משוואה מפוזרת, מציאת שני החיתוכים ושטח המשולש, ובדיקת נקודה בהצבה.

דוגמה 1סדרו את 4y − 28x = 36 לצורה המקובלת, וקראו ממנה את השיפוע ואת גובה החצייה.
  1. מעבירים את האיבר עם x לאגף הימני: 4y = 28x + 36.
  2. מחלקים את שני האגפים ב-4, ואת כל אחד מן האיברים: y = 7x + 9.
  3. עכשיו המשוואה בצורה y = mx + n, ואפשר לקרוא ישירות.
  4. המקדם של x הוא 7, ולכן זהו השיפוע. הישר מטפס, מפני שהשיפוע חיובי.
  5. m = 7 ו-n = 9. הישר חוצה את הציר האנכי בנקודה (0, 9).
דוגמה 2הישר y = −5x + 30 חוצה את שני הצירים. מצאו את שתי הנקודות, ואת שטח המשולש הכלוא בין הישר לצירים.
  1. חיתוך עם הציר האנכי: מציבים x = 0 ומקבלים y = 30, כלומר הנקודה (0, 30).
  2. חיתוך עם הציר האופקי: מציבים y = 0 ומקבלים 0 = −5x + 30.
  3. מעבירים ומחלקים: 5x = 30, ולכן x = 6 והנקודה היא (6, 0).
  4. המשולש ישר זווית, וניצביו הם המרחקים מן הראשית: 6 לאורך הציר האופקי, ו-30 לאורך האנכי.
  5. השטח הוא מכפלת הניצבים חלקי שתיים, כלומר 90 יחידות שטח.
דוגמה 3שיפועו של ישר הוא 5 והוא עובר בנקודה (0, −8). האם הנקודה (6, 22) נמצאת עליו?
  1. הנקודה (0, −8) יושבת על הציר האנכי, ולכן היא נותנת מיד את n: n = −8.
  2. מרכיבים את המשוואה: y = 5x − 8.
  3. מציבים את x של הנקודה הנבדקת: 5 · 6 = 30, ואז מורידים 8.
  4. מתקבל 22, וזה בדיוק ה-y של הנקודה שנבדקה.
  5. כן, הנקודה על הישר. הצבה שנותנת שני אגפים שווים היא ההוכחה, ולא המראה בשרטוט.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול הפרק

ניקוד: 0 / 0

שלושה סטים של שש שאלות, מן הקל אל המאתגר: קודם קריאה וכתיבה של משוואת ישר, אחר כך מעבר בין הגרף לנוסחה, ולבסוף חיתוכים, שטח ומקבילות. אחריהם סט רביעי, משימות פתוחות: שם כותבים בעצמכם, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית. המשימות הפתוחות אינן נספרות בציון, כי לתשובה שלכם יכולות להיות כמה צורות נכונות.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

מה יש בפרק הזה

  • 1m: סימנו קובע כיוון, וגודלו קובע תלילות.
  • 2n: הגובה שבו הישר חוצה את הציר האנכי, ותו לא.
  • 3סידור לפני קריאה: משוואה מפוזרת אינה מוכנה לקריאה ישירה.
  • 4חיתוכים: x = 0 נותן את האחד, y = 0 נותן את האחר.
  • 5מקבילים: אותו שיפוע בדיוק, ואינם נפגשים לעולם.
מפתח פתרונות (תרגול)

    שלום! זה הפרק הראשון בחוברת. נתחיל בשני המספרים ששולטים בכל ישר, ובסוף תדעו לעבור מן הגרף אל הנוסחה ובחזרה.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי