פיתגורס ומשולש שווה שוקיים
שני הכלים בפרק הזה עובדים יחד לעתים קרובות יותר מכפי שנדמה. משפט פיתגורס נותן לכם צלע שלישית ברגע שיש שתיים, אבל רק במשולש שיש בו זווית ישרה, ולכן השאלה הראשונה תמיד היא מי היתר ומי הניצבים. המשולש שווה השוקיים נותן לכם שוויון זוויות ושוויון צלעות בחינם, והגובה שלו אל הבסיס חוצה את הבסיס ובכך יוצר בדיוק את המשולש ישר הזווית שפיתגורס יודע לפתור. משם מגיעים לגובה, לשטח, ולהיקף.
בפרק 18 שאלות סגורות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה הסבר משלה, והוא נפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
האלכסון תמיד קצר משתי הצלעות יחד. קחו מגרש מלבני שאורכו 40 מטר ורוחבו 30 מטר. מי שהולך לאורך שתי צלעות עושה שבעים מטר. מי שחוצה אותו באלכסון עושה חמישים בלבד, ואת המספר הזה אי אפשר למדוד בעין, רק לחשב. זו כל התועלת של פיתגורס: הוא הופך שני אורכים שאתם יודעים לאורך שלישי שאתם לא יכולים למדוד. ובמשולש שווה שוקיים הוא עושה זאת פעמיים, כי הגובה חותך אותו לשני משולשים ישרי זווית זהים.
למי מותר להשתמש בפיתגורס, ואיפה
המשפט תקף אך ורק במשולש שיש בו זווית ישרה, ולכן השלב הראשון הוא לזהות אותה. הצלע שמול הזווית הישרה נקראת היתר, והיא תמיד הארוכה מבין השלוש, ושתי האחרות הן הניצבים. המשפט אומר שסכום ריבועי שני הניצבים שווה לריבוע היתר. מכאן שני שימושים הפוכים: כשמחפשים את היתר מחברים את שני הריבועים, וכשמחפשים ניצב חסר מחסרים את ריבוע הניצב הידוע מריבוע היתר. הכיוון השני הוא מקור הטעות הנפוצה בפרק, כי היד מושכת לחבר. במשולש שווה שוקיים המפגש בין השניים ברור: השוקיים שוות, זוויות הבסיס שוות, והגובה היורד אל הבסיס חוצה אותו וגם חוצה את זווית הראש. לכן חצי מן הבסיס וכל אחת מן השוקיים יוצרים משולש ישר זווית, שבו השוק היא היתר, ופיתגורס נותן את הגובה.
מחפשים את היתר
שני הניצבים ידועים. מעלים כל אחד בריבוע, מחברים, ומוציאים שורש. התוצאה תמיד גדולה מכל אחד מן הניצבים.
מחפשים ניצב
היתר וניצב אחד ידועים. מחסרים את ריבוע הניצב מריבוע היתר, ורק אז מוציאים שורש. התוצאה תמיד קטנה מן היתר.
איפה מותר בכלל
רק במשולש שיש בו זווית ישרה. במשולש שאין בו כזאת המשפט אינו תקף, ולכן קודם מחפשים את סימן הזווית הישרה בשרטוט.
הגשר לשווה שוקיים
הגובה אל הבסיס חוצה אותו, ולכן הוא בונה משולש ישר זווית שבו השוק היא היתר וחצי הבסיס הוא ניצב. משם הכול מחושב.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות בדיוק את מה שהפרק הזה בודק.
קודם מזהים
מול הזווית הישרה עומד היתר, והוא הארוך מן השלושה. השתיים שיוצרות את הזווית הישרה הן הניצבים.
המשפט עצמו
סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר: a² + b² = c², כאשר c הוא היתר.
שני כיוונים
מחפשים יתר: מחברים ריבועים ואז מוציאים שורש. מחפשים ניצב: מחסרים את ריבוע הניצב הידוע מריבוע היתר.
כשהתוצאה אינה שלמה
לא כל שורש יוצא שלם. בגיאומטריה משאירים אותו כשורש מדויק, ובבעיה מן העולם מעגלים ואומרים שעיגלנו.
שווה שוקיים לפי הסימון
שתי הצלעות הנושאות את אותו סימון הן השוקיים, והשלישית היא הבסיס. הסימון מכריע, לא המראה בשרטוט.
הגובה שעושה שלושה דברים
במשולש שווה שוקיים הגובה אל הבסיס הוא גם התיכון וגם חוצה זווית הראש. לכן הוא חוצה את הבסיס לשני חלקים שווים.
שלוש דוגמאות פתורות
חישוב ניצב חסר, מציאת אורך קטע במערכת צירים, וגובה ושטח במשולש שווה שוקיים.
- מזהים: 41 היא הצלע מול הזווית הישרה, ולכן היא היתר, והיא הגדולה מכולן.
- מחפשים ניצב, ולכן מחסרים: ריבוע היתר הוא 1681, וריבוע הניצב הידוע הוא 81.
- ההפרש הוא 1600, וזה ריבועו של הניצב החסר.
- מוציאים שורש ומקבלים ניצב באורך 40 סנטימטרים.
- הניצב האחר 40, וההיקף הוא סכום שלוש הצלעות, כלומר 90 סנטימטרים.
- לא מציבים בשום נוסחה. בונים משולש ישר זווית: מהלך אופקי ומהלך אנכי.
- המהלך האופקי הוא ההפרש בין ערכי x, כלומר שמונה יחידות.
- המהלך האנכי הוא ההפרש בין ערכי y, כלומר חמש עשרה יחידות.
- שני המהלכים האלה הם הניצבים, והקטע המבוקש הוא היתר: 64 ועוד 225 נותנים 289.
- שורש 289 הוא 17, ולכן המרחק ביניהן 17 יחידות.
- מורידים גובה אל הבסיס. הוא חוצה את הבסיס, ולכן כל חצי הוא 8 סנטימטרים.
- נוצר משולש ישר זווית שניצביו הם הגובה וחצי הבסיס, והיתר שלו הוא השוק.
- ריבוע השוק הוא 289, וריבוע חצי הבסיס הוא 64, וההפרש 225.
- שורש 225 הוא 15, ולכן הגובה 15 סנטימטרים.
- השטח הוא הבסיס כפול הגובה חלקי שתיים, כלומר 120 סנטימטרים רבועים.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מן הקל אל המאתגר: קודם פיתגורס נקי, אחר כך פיתגורס בתוך צורות ובעולם, ולבסוף משולש שווה שוקיים, זוויות והיקפים. אחריהם סט רביעי, משימות פתוחות, שבהן כותבים ומנמקים ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה. המשימות הפתוחות אינן נספרות בציון.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1קודם זווית ישרה: בלעדיה אין לפיתגורס מה לומר.
- 2יתר מול ניצב: יתר בחיבור, ניצב בחיסור.
- 3מרחק בין נקודות: מהלך אופקי, מהלך אנכי, ופיתגורס. בלי נוסחה.
- 4שווה שוקיים: זוויות הבסיס שוות, וסכום הזוויות 180 מעלות.
- 5הגובה לבסיס: חוצה את הבסיס ואת זווית הראש, ופותח את הדרך לשטח.
