מרובעים: תכונות, שטחים והיקפים
מקבילית, מלבן ומעוין אינם שלוש צורות זרות זו לזו, אלא משפחה אחת: מלבן הוא מקבילית שכל זוויותיה ישרות, מעוין הוא מקבילית שכל צלעותיה שוות, וריבוע הוא בדיוק המקום שבו שתי התוספות האלה נפגשות. בפרק הזה נלמד לזהות כל אחד מהם לפי הסימונים בשרטוט ולא לפי המראה, נחשב זוויות, צלעות, היקפים ושטחים, ונשתמש בפיתגורס מן הפרק הקודם כדי לקשור בין אלכסונים לצלעות. בסוף נצא אל העולם: מסגרת, שביל, ריצוף ומחיר.
בפרק 18 שאלות סגורות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה הסבר משלה.
חזרה לשער החוברת
הגובה שייך לצלע, ולא למרובע. זו הטעות שגובה הכי הרבה נקודות בפרק הזה. במקבילית יש שני גבהים שונים, אחד אל כל זוג צלעות, וכל אחד מהם מותר לכפול רק בצלע שאליה הוא מגיע. מי שלוקח את הצלע הארוכה וכופל אותה בגובה שיורד אל הקצרה מקבל מספר שאינו שטח של שום דבר. הבדיקה פשוטה: מסתכלים לאן הגובה נוגע, וזאת הצלע שמותר לכפול בה.
משפחה אחת, ושלוש דרגות של תוספת
המקבילית היא הבסיס: שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות ושוות, זוויות נגדיות שוות, זוויות סמוכות משלימות זו את זו ל-180 מעלות, ושני האלכסונים חוצים זה את זה. המלבן הוא מקבילית שנוספה לה תכונה אחת, זווית ישרה, וממנה נובעת תכונה שנייה: האלכסונים שווים באורכם. המעוין הוא מקבילית שנוספה לה תכונה אחרת, שוויון כל הצלעות, וממנה נובע שהאלכסונים מאונכים זה לזה וגם חוצים את הזוויות. מכאן מובן מדוע כל מלבן הוא מקבילית ואילו ההפך אינו מתקיים: המלבן מקיים את כל דרישות המקבילית ועוד אחת, והמקבילית אינה חייבת בזו הנוספת. הריבוע הוא המקום שבו שתי התוספות מתקיימות יחד. וההכרעה בשרטוט נעשית תמיד לפי הסימונים, לפי קווי השוויון וסימני המקבילות והזווית הישרה, ולעולם לא לפי מה שנראה לעין.
מקבילית
צלעות נגדיות שוות ומקבילות · זוויות נגדיות שוות · זוויות סמוכות משלימות · האלכסונים חוצים זה את זה
מלבן
ומכאן נובע: האלכסונים שווים באורכם
מעוין
ומכאן נובע: האלכסונים מאונכים וחוצים את הזוויות
ריבוע
אין בו תכונה שאינה מגיעה מן המלבן או מן המעוין
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות בדיוק את מה שהפרק הזה בודק.
מקבילית
צלעות נגדיות שוות ומקבילות, זוויות נגדיות שוות, זוויות סמוכות משלימות, והאלכסונים חוצים זה את זה. בכתיב: AB = CD, AB ∥ CD.
מלבן
מקבילית שכל זוויותיה ישרות. מכאן נובע שהאלכסונים שווים זה לזה, וזו התכונה שמבדילה אותו ממקבילית סתם.
מעוין
מקבילית שכל צלעותיה שוות. מכאן נובע שהאלכסונים מאונכים זה לזה, וגם חוצים את זוויות המעוין.
ריבוע
מלבן ומעוין בבת אחת. לכן אלכסוניו שווים, מאונכים, וחוצים זה את זה. אין לו תכונה שאינה מגיעה מאחד השניים.
שטח מקבילית
צלע כפול הגובה שיורד אליה. גובה שנוגע בצלע אחרת שייך לחישוב אחר, ואסור לכפול בו.
שטח מעוין
מכפלת שני האלכסונים חלקי שתיים. ואת הצלע מוצאים מחצאי האלכסונים בעזרת משפט פיתגורס, כי הם מאונכים.
שלוש דוגמאות פתורות
היקף מקבילית עם הפרש בין הצלעות, מעוין שבו מוצאים אלכסון מן הצלע, ובעיית שטח מן העולם.
- במקבילית שני זוגות צלעות שוות, ולכן חצי ההיקף הוא סכום שתי צלעות סמוכות בלבד, כלומר 37.
- מסמנים את הקצרה בנעלם. הארוכה היא אותו נעלם ועוד חמש.
- המשוואה: שני נעלמים ועוד חמש שווים 37.
- שני נעלמים הם 32, ולכן הנעלם הוא 16.
- הצלעות הן 16 ו-21 סנטימטרים. בדיקה: סכומן 37, וכפול שתיים מחזיר את ההיקף הנתון.
- האלכסונים במעוין חוצים זה את זה ומאונכים, ולכן הם יוצרים ארבעה משולשים ישרי זווית.
- בכל אחד מהם היתר הוא צלע המעוין, וניצביו הם חצאי האלכסונים.
- חצי האלכסון הידוע הוא 7. מחסרים: 625 פחות 49 נותנים 576, ושורשו 24.
- 24 הוא חצי האלכסון האחר, ולכן האלכסון האחר הוא 48 סנטימטרים.
- השטח הוא מכפלת האלכסונים חלקי שתיים, כלומר 336 סנטימטרים רבועים.
- שטח החצר כולה הוא מכפלת מידותיה, כלומר 300 מטרים רבועים.
- שטח הבריכה הוא 40 מטרים רבועים.
- השטח שנשאר הוא ההפרש בין השניים, ולא סכומם: 260 מטרים רבועים.
- העלות היא השטח כפול המחיר ליחידה.
- 6,500 שקלים. שימו לב שכל בעיית מסגרת או שביל בנויה כך בדיוק: חיצוני פחות פנימי.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מן הקל אל המאתגר: קודם זיהוי ותכונות, אחר כך צלעות שטחים והיקפים, ולבסוף אלכסונים, מערכת צירים ובעיות מן העולם. אחריהם סט רביעי, משימות פתוחות, שבהן כותבים ומנמקים ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה. המשימות הפתוחות אינן נספרות בציון.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1משפחה אחת: מלבן ומעוין הם מקבילית עם תוספת, וריבוע הוא שתיהן.
- 2הסימון מכריע, ולא המראה בשרטוט.
- 3שטח מקבילית: צלע כפול הגובה שיורד אליה בלבד.
- 4שטח מעוין: מכפלת האלכסונים חלקי שתיים.
- 5מסגרת ושביל: שטח חיצוני פחות שטח פנימי.
