פרבולה אחת, שישה שלבים
הפרבולה היא הגרף היחיד שילווה אתכם מכיתה ט׳ ועד סוף התיכון, ולכן שווה להכיר אותה עד הסוף ולא רק לזהות אותה. הפרק בנוי בששת השלבים שבהם לומדים אותה: קודם קוראים מן הגרף קדקוד, אפסים וצירים, אחר כך מזיזים אותה מעלה, מטה, ימינה ושמאלה, ורק בסוף עוברים בין שלושת הייצוגים ומחשבים בעזרתם שטחים ופרמטרים חסרים. במעבדה שלמעלה אתם מזיזים את הפרבולה בעצמכם, ורואים מה נוסע איתה ומה נשאר במקומו.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
הסימן שבתוך הסוגריים מזיז לכיוון ההפוך. זה נשמע כמו טעות דפוס, והוא לא. y = x² יושבת עם הקדקוד בראשית. y = (x − 5)² היא בדיוק אותה פרבולה, רק שהקדקוד שלה עבר ימינה, ולא שמאלה. הסיבה פשוטה כשעוצרים עליה רגע: הריבוע מתאפס כשמה שבתוך הסוגריים מתאפס, וזה קורה עכשיו במקום שבו x גדול יותר. מי שלא עצר על השורה הזאת בכיתה ט׳ יטעה בה שוב בכיתה י׳, ואחר כך בבגרות.
שבעה דברים שקוראים מפרבולה אחת
לפני שמחשבים משהו, כדאי לדעת מה בכלל אפשר לקרוא. לכל פרבולה יש קדקוד, והוא נקודת מינימום כשהמקדם המוביל חיובי ונקודת מקסימום כשהוא שלילי. דרך הקדקוד עובר ציר סימטריה אנכי, ומשוואתו היא תמיד מן הצורה x = מספר. יש נקודות אפס, כלומר המקומות שבהם הגרף פוגש את הציר האופקי, ויכולות להיות שתיים, אחת או אף אחת. יש בדיוק נקודת חיתוך אחת עם הציר האנכי, כי לערך x אחד מתאים ערך y אחד ולא יותר. יש תחום עלייה ותחום ירידה, והם נפגשים בדיוק בקדקוד. ויש תחום חיוביות ותחום שליליות, והם נחתכים בנקודות האפס. שימו לב שאלה שני זוגות שונים לגמרי של תחומים: אחד מדבר על כיוון, והשני על סימן.
תחום עלייה ותחום ירידה
הם נפגשים בדיוק בקדקוד, ולכן תמיד יש שניים כאלה, אחד מכל צד של ציר הסימטריה.
תחום חיוביות ותחום שליליות
הם נחתכים בנקודות האפס, ולא בקדקוד. אלה שני תחומים אחרים לגמרי מן הקודמים.
מינימום או מקסימום
סימן המקדם המוביל מכריע לבדו. חיובי פותח מעלה, שלילי פותח מטה.
אפסים אפשריים
שניים, אחד או אף אחד. עם הציר האנכי, לעומת זאת, יש תמיד בדיוק מפגש אחד.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק בודק. אם משהו כאן נשמע לכם זר, זה המקום לעצור.
הצבה וזיהוי
ביטוי הוא ריבועי כשהחזקה הגבוהה ביותר של x היא 2 והמקדם שלה אינו אפס. כדי לחשב ערך פשוט מציבים: ב-f(x) = x² + bx + c מציבים את המספר בכל מקום שבו מופיע x, כולל בתוך הריבוע.
קדקוד, וסוגו
הקדקוד הוא זוג סדור ולא מספר בודד. הסימן של המקדם המוביל מכריע את סוגו: מקדם חיובי → מינימום, מקדם שלילי → מקסימום. ציר הסימטריה עובר דרכו, ומשוואתו נושאת את שיעור ה-x שלו.
סימטריה בטבלה
בטבלת ערכים של פרבולה הערכים חוזרים על עצמם בזוגות סביב הקדקוד. אם שני ערכי x שונים נותנים אותו ערך y, ציר הסימטריה עובר בדיוק באמצע ביניהם, ואפשר לאתר את הקדקוד בלי לשרטט דבר.
שתי ההזזות
מספר שמתווסף מחוץ לריבוע מזיז אנכית ומשנה רק את גובה הקדקוד. מספר שמתווסף בתוך הסוגריים מזיז אופקית ומשנה רק את מיקומו האופקי, ולכיוון ההפוך לסימן. מה שאף הזזה אינה משנה: כיוון הפתיחה ורוחב הפרבולה.
שלושת הייצוגים
סטנדרטי y = ax² + bx + c: החיתוך עם הציר האנכי גלוי בו מיד. קדקודי y = a(x − p)² + k: הקדקוד גלוי בו מיד. כמכפלה y = a(x − t)(x − r): נקודות האפס גלויות בו מיד. אותה פרבולה, שלוש חזיתות.
ממכפלה אל הקדקוד
כשהייצוג הוא מכפלה, שיעור ה-x של הקדקוד הוא האמצע שבין שתי נקודות האפס, כי הפרבולה סימטרית. מוצאים אותו, מציבים בחזרה בפונקציה, ומקבלים את שיעור ה-y.
שלוש דוגמאות פתורות
מעבר מן הייצוג הסטנדרטי אל התמונה המלאה, כתיבת ייצוג אחרי שתי הזזות, והשלמת פרמטר חסר מתוך ציר הסימטריה.
- אפסים. מאפסים את הפונקציה ומפרקים לגורמים: x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2). מכפלה מתאפסת רק כשאחד הגורמים מתאפס, ולכן x = 4 או x = −2.
- ציר סימטריה. הוא עובר באמצע שבין שני האפסים. האמצע שבין −2 ל-4 הוא 1, ולכן הציר הוא x = 1.
- קדקוד. שיעור ה-x שלו הוא 1, וכדי לקבל את שיעור ה-y מציבים בחזרה: 1 − 2 − 8, כלומר −9.
- סוג הקדקוד. המקדם המוביל חיובי, ולכן זו נקודת מינימום, והפרבולה נפתחת כלפי מעלה.
- אפסים ב-4 וב-−2, ציר סימטריה x = 1, וקדקוד מינימום ב-(1, −9).
- ההזזה האופקית נכנסת לסוגריים, והסימן מתהפך: ימינה נכתב במינוס. מקבלים (x − 4)².
- ההזזה האנכית נכתבת מחוץ לריבוע, ומטה נכתב במינוס: מוסיפים − 2 בסוף.
- הייצוג הקדקודי הוא y = (x − 4)² − 2.
- קוראים את הקדקוד ישירות מן הייצוג: מה שבסוגריים אומר את שיעור ה-x, והמספר שבסוף אומר את שיעור ה-y.
- קדקוד ב-(4, −2), וציר סימטריה x = 4. צורת הפרבולה לא השתנתה כלל.
- מה יודעים על הציר. בייצוג הסטנדרטי שיעור ה-x של הקדקוד הוא −b חלקי פעמיים המקדם המוביל. כאן המקדם המוביל הוא 1.
- מציבים את הנתון: −b חלקי 2 שווה 3, ולכן −b = 6.
- מכאן b = −6, והפונקציה היא y = x² − 6x + 10.
- שיעור ה-y של הקדקוד. מציבים x = 3: 9 − 18 + 10, כלומר 1.
- b = −6, והקדקוד הוא (3, 1). הוא מעל הציר האופקי, ולכן לפרבולה הזאת אין נקודות אפס כלל.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל המאתגר: קודם קריאה מן הביטוי ומן הטבלה, אחר כך ההזזות והייצוג הקדקודי, ולבסוף מעבר בין ייצוגים, השלמת פרמטרים וחישוב שטח. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות, שבהן כותבים ומנמקים, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1קריאה: קדקוד, ציר סימטריה, אפסים, וחיתוך יחיד עם הציר האנכי.
- 2ארבעה תחומים: עלייה וירידה מדברים על כיוון, חיוביות ושליליות על סימן.
- 3הזזות: מחוץ לריבוע מזיז אנכית, בתוך הסוגריים מזיז אופקית ולכיוון ההפוך.
- 4שלושה ייצוגים: לכל אחד יש דבר אחד שהוא מגלה מיד.
- 5שטח וסימטריה: נקודות אופייניות של פרבולה הן קודקודים של צורה שאפשר לחשב.
