לפרק לגורמים, ואז לפתור
זהו הפרק הטכני של החוברת, והוא גם הפרק שמשלם הכי הרבה. כמעט כל מה שתעשו בכיתה י׳ עובר דרך שני כלים: לפתוח סוגריים כשצריך, ולפרק לגורמים כשזה משתלם יותר. אחרי שיודעים לפרק, משוואה ריבועית מפסיקה להיות תעלומה, שבר אלגברי מפסיק להיות מפחיד, ואי שוויון ריבועי נפתר בהסתכלות אחת על הגרף. הפרק בנוי בדיוק בסדר הזה: קודם הרחבה ונוסחאות הכפל המקוצר, אחר כך גורם משותף ומכפלה שמתאפסת, ולבסוף שברים אלגבריים, נוסחת השורשים ואי שוויון.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
הריבוע של סכום אינו סכום הריבועים. זו הטעות הכי יקרה בכל חטיבת הביניים, והיא נראית תמימה לגמרי. אם תבנו ריבוע שצלעו x + 5, השטח שלו אינו x² ועוד 25, כי בין שני הריבועים האלה נשארים שני מלבנים באותו גודל, וכל אחד מהם 5x. יחד הם 10x, וזה בדיוק האיבר האמצעי שנעלם למי שמיהר. שווה לצייר את הריבוע הזה פעם אחת בחיים, ואז לא לשכוח אותו יותר.
איזה פירוק מתאים כאן
לפני שמפרקים משהו, כדאי לעצור ולשאול איזה סוג של ביטוי יש כאן, כי לכל סוג יש מהלך אחר. מבחן ראשון, גורם משותף: האם לכל האיברים יש משהו משותף, מספר או חזקה של המשתנה? אם כן, מוציאים אותו החוצה תמיד לפני כל דבר אחר. מבחן שני, שני איברים בלבד: אם זהו הפרש של שני ריבועים, יש פירוק מיידי לשני גורמים, סכום והפרש. אם זהו סכום של ריבוע ומספר חיובי, אין פירוק בכלים של חטיבת הביניים, וזו תשובה שלמה ולא כישלון. מבחן שלישי, שלושה איברים: מחפשים שני מספרים שמכפלתם היא המקדם החופשי וסכומם הוא המקדם האמצעי. ואם השלישייה עמידה, תמיד אפשר לאפס את הביטוי ולהפעיל את נוסחת השורשים, שעובדת בכל מקרה. הכלל שמעל כולם: מכפלה מתאפסת אך ורק כשאחד הגורמים מתאפס, ולכן פירוק לגורמים הוא מה שהופך משוואה קשה לשתי משוואות קלות.
יש גורם משותף לכל האיברים?
מספר, חזקה של המשתנה, או שניהם. אם יש, מוציאים אותו לפני כל דבר אחר, וממשיכים לבדוק את מה שנשאר בסוגריים.
נשארו שני איברים?
אם ביניהם סימן חיסור ושניהם ריבועים שלמים, זהו הפרש ריבועים ויש פירוק מיידי. אם ביניהם סימן חיבור, אין פירוק בכלים של חטיבת הביניים, וזו תשובה מלאה.
נשארו שלושה איברים?
מחפשים זוג מספרים שמכפלתם היא המקדם החופשי וסכומם הוא המקדם האמצעי. אם לא נמצא זוג נוח, אין בזה כישלון.
ובכל מקרה: נוסחת השורשים
היא עובדת על כל משוואה ריבועית מסודרת, גם על זו שאין לה פירוק נוח. הביטוי שמתחת לשורש אומר מראש כמה פתרונות יהיו.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק בודק, מן ההרחבה ועד לאי השוויון.
הרחבת מכפלה
כל איבר בסוגריים הראשונים נפגש עם כל איבר בסוגריים השניים, ואז מכנסים איברים דומים. אם לפני הסוגריים יש מקדם, ובמיוחד מקדם שלילי, הוא מוכפל בכל האיברים ולא רק בראשון.
נוסחאות הכפל המקוצר
ריבוע של דו איבר נותן שלושה איברים: שני ריבועים ואיבר אמצעי כפול. הפרש ריבועים נותן שני איברים בלבד, מכפלה של סכום בהפרש. אלה שתי תבניות שונות, וקל להחליף ביניהן.
גורם משותף
מוציאים את הגדול ביותר שאפשר: גם את המספר וגם את החזקה הנמוכה של המשתנה. לפעמים הגורם המשותף הוא סוגריים שלמים, ואז מפרקים לפיו בדיוק כמו לפי מספר.
מכפלה שמתאפסת
אם מכפלה שווה לאפס, לפחות אחד הגורמים חייב להיות אפס, ואז מפצלים למשוואות נפרדות. שימו לב שזה נכון רק כשהאגף השני הוא אפס. אם המכפלה שווה למספר אחר, קודם מסדרים ורק אז מפרקים.
שבר אלגברי
ראשית רושמים תחום הצבה: המכנה אינו מתאפס. אחר כך מפרקים מונה ומכנה ומצמצמים גורמים שלמים בלבד, ולא איברים בודדים. מונה ומכנה נגדיים מצטמצמים למינוס אחד.
כמה פתרונות
בנוסחת השורשים, הביטוי שמתחת לשורש מכריע: חיובי נותן שני פתרונות, אפס נותן פתרון יחיד, ושלילי אומר שאין פתרון ממשי. בודקים אותו לפני שמתחילים לחשב.
שלוש דוגמאות פתורות
שלושה סוגי פירוק בזה אחר זה, משוואה ריבועית בנוסחת השורשים, ומשוואה שיש בה משתנה במכנה.
- (א) מבחן הגורם המשותף. לשני האיברים יש גם מספר משותף וגם משתנה משותף. מוציאים את הגדול שאפשר ומקבלים 5x(x + 3).
- (ב) שני איברים, וסימן חיסור. זהו הפרש של שני ריבועים, ולכן הפירוק הוא מכפלה של סכום בהפרש: (x − 7)(x + 7).
- (ג) שלושה איברים. מחפשים שני מספרים שמכפלתם 36 וסכומם 12. שניהם 6, ולכן (x + 6)(x + 6).
- מכיוון ששני הגורמים זהים, אפשר לכתוב את התוצאה קצר יותר כריבוע של דו איבר.
- 5x(x + 3), (x − 7)(x + 7) ו-(x + 6)². שלושה ביטויים, שלושה מבחנים שונים.
- מזהים את שלושת המקדמים בייצוג הסטנדרטי: המקדם המוביל, המקדם האמצעי והמקדם החופשי. המשוואה כבר מסודרת, ולכן אין מה להעביר אגף.
- בודקים קודם את הביטוי שמתחת לשורש. הוא מתקבל מהעלאת המקדם האמצעי בריבוע ומהחסרת ארבע כפול המקדם המוביל כפול החופשי, ותוצאתו כאן 49.
- 49 חיובי, ולכן יש שני פתרונות. השורש שלו הוא 7, וזה מספר שלם, ולכן הפתרונות יצאו נוחים.
- מציבים בנוסחה: (11 + 7) : 6 נותן 3, ו-(11 − 7) : 6 נותן 23.
- x = 3 ו-x = 23. בדיקה בהצבה חוזרת בשתיהן מחזירה אפס.
- קודם כול תחום הצבה. המכנה אסור שיתאפס, ולכן x ≠ 2. רושמים את זה לפני שנוגעים במשוואה, ולא אחרי.
- מכפילים את שני האגפים במכנה ומקבלים 8 = (x − 4)(x − 2).
- מרחיבים ומסדרים. אגף ימין נעשה x² − 6x + 8, ואחרי העברת אגף נשאר x² − 6x = 0.
- מוציאים גורם משותף: x(x − 6) = 0, ולכן x = 0 או x = 6.
- שני הפתרונות נמצאים בתחום ההצבה, ולכן שניהם נשארים. אילו אחד מהם היה יוצא 2, היינו חייבים לפסול אותו.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות: קודם הרחבה ונוסחאות הכפל המקוצר, אחר כך גורם משותף ומשוואות שמתאפסות, ולבסוף סט מאתגר של שברים אלגבריים, נוסחת השורשים ואי שוויון. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות, ובהן גם איתור שגיאה בדרך פתרון כתובה.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1הרחבה: כל איבר פוגש כל איבר, והמקדם שלפני הסוגריים מוכפל בכולם.
- 2שלושה מבחני פירוק: גורם משותף, הפרש ריבועים, ושלישייה.
- 3מכפלה מתאפסת רק כשהאגף השני אפס. אחרת מסדרים קודם.
- 4שבר אלגברי: תחום הצבה קודם, צמצום רק של גורמים שלמים.
- 5הביטוי שמתחת לשורש אומר כמה פתרונות יש, עוד לפני החישוב.
