שני גרפים, ונקודה שנמצאת על שניהם
מערכת משוואות נראית כמו תרגיל טכני, והיא בעצם שאלה גאומטרית: איפה שני הגרפים נפגשים? ברגע שרואים את זה, הכול מסתדר. פתרון הוא נקודה, ולכן הוא נכתב כזוג סדור. אם הישר חוצה את הפרבולה יש שני פתרונות, אם הוא משיק לה יש אחד, ואם הוא חולף מתחתיה אין אף אחד. גם השאלה הטכנית של בידוד והצבה מקבלת פתאום סיבה: היא רק הדרך למצוא את המקום שבו שני הביטויים מסכימים.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
אפשר לדעת כמה פתרונות יש עוד לפני שפותרים. ישר שחוצה פרבולה נכנס מצד אחד ויוצא מן הצד השני, ולכן הוא פוגש אותה פעמיים. אם מרימים אותו לאט לאט, שתי נקודות המפגש מתקרבות זו לזו, ובאיזשהו רגע הן מתלכדות לנקודה אחת: זה הרגע שבו הישר משיק. עוד קצת מעלה, והישר כבר חולף מעל הפרבולה בלי לגעת בה, ואין אף פתרון. אלגברית זה נראה אחרת לגמרי, אבל זה בדיוק אותו סיפור: הביטוי שמתחת לשורש הולך ומתאפס, ואז נעשה שלילי.
חמישה צעדים, תמיד באותו סדר
למערכת של משוואה ממעלה ראשונה ומשוואה ממעלה שנייה יש מהלך קבוע, ומי שעובד לפיו כמעט אינו טועה. ראשית מזהים איזו משוואה היא הליניארית, כי היא זו שממנה נוח לבודד. שנית מבודדים את המשתנה הנוח יותר, ובדרך כלל זה המשתנה שהמקדם שלו הוא אחד או מינוס אחד. שלישית מציבים את הביטוי שקיבלנו בתוך המשוואה השנייה, וכך נשארת משוואה אחת במשתנה אחד. רביעית מסדרים אותה לצורה סטנדרטית לפני שפותרים, כי בלי סידור נוסחת השורשים אינה חלה. וחמישית משלימים לכל ערך שנמצא את הערך של המשתנה השני, וכותבים כל פתרון כזוג סדור. הצעד החמישי הוא זה שנשכח הכי הרבה: מי שעצר אחרי הפתרון של המשוואה הריבועית ענה על חצי שאלה. ואם רוצים ביטחון, בודקים כל זוג בהצבה חוזרת בשתי המשוואות המקוריות, ולא רק באחת.
מזהים
איזו משוואה ממעלה ראשונה ואיזו ממעלה שנייה. הליניארית היא זו שממנה מבודדים.
מבודדים
בוחרים את המשתנה שהמקדם שלו נוח, ומבודדים אותו במשוואה הליניארית בלבד.
מציבים
מכניסים את הביטוי שהתקבל לתוך המשוואה האחרת, ומקבלים משוואה במשתנה אחד.
מסדרים ופותרים
מעבירים הכול לאגף אחד ומשווים לאפס, ורק אז מפרקים לגורמים או מפעילים את נוסחת השורשים.
משלימים
לכל ערך שנמצא מחשבים את הערך של המשתנה השני, וכותבים זוג סדור. זהו הצעד שנשכח הכי הרבה.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק בודק, מן הטכניקה ועד למשמעות הגרפית.
איזה משתנה לבודד
בוחרים את המשתנה שהמקדם שלו הוא אחד או מינוס אחד, כי אז אין שברים. אם שני המקדמים גדולים, עדיין אפשר, אבל כדאי להיות מוכנים לשברים ולא להיבהל מהם.
סידור לפני פתרון
אחרי ההצבה מקבלים משוואה במשתנה אחד, והיא לרוב אינה מסודרת. מעבירים הכול לאגף אחד ומשווים לאפס, ורק אז מפרקים לגורמים או מפעילים את נוסחת השורשים.
פתרון הוא זוג סדור
לכל ערך שנמצא למשתנה הראשון מחשבים את הערך המתאים של השני, ומצמידים אותם. שני מספרים שנכתבו בנפרד אינם פתרון, אלא חצי תשובה.
המשמעות הגרפית
פתרון הוא נקודה שנמצאת על שני הגרפים בבת אחת. לכן מספר הפתרונות הוא בדיוק מספר נקודות המפגש, ואפשר לאמוד אותו מסקיצה לפני שמחשבים.
כמה פתרונות ייתכנו
לישר משופע ולפרבולה יכולות להיות שתי נקודות מפגש, אחת בלבד כשהישר משיק, או אף אחת. שלוש נקודות מפגש אינן אפשריות, וזו בדיקת שפיות טובה לתשובה.
בדיקה בשתי המשוואות
נקודה שמקיימת רק אחת מן המשוואות אינה פתרון של המערכת. לכן הבדיקה נעשית תמיד בשתיהן, ובמשוואות המקוריות ולא באלה שכבר סודרו.
שלוש דוגמאות פתורות
מערכת שבה משתנה כבר מבודד, מערכת שדורשת מעבר אגף לפני הבידוד, והכרעה על מספר פתרונות בלי לפתור בכלל.
- שני האגפים כבר מבודדים, ושניהם שווים לאותו משתנה, ולכן אפשר להשוות ביניהם ישירות: x² = 2x + 3.
- מסדרים לצורה סטנדרטית לפני שפותרים: x² − 2x − 3 = 0.
- מפרקים לגורמים. מחפשים שני מספרים שמכפלתם −3 וסכומם −2, ומקבלים (x − 3)(x + 1) = 0, ולכן x = 3 או x = −1.
- משלימים את הערך השני לכל אחד מהם, ונוח להציב במשוואה הפשוטה: x = 3 נותן y = 9, ו-x = −1 נותן y = 1.
- (3, 9) ו-(−1, 1). בדיקה בהצבה בשתי המשוואות המקוריות מאשרת את שניהם.
- המשוואה הראשונה היא הליניארית, ולכן ממנה מבודדים. המקדם של המשתנה השני הוא אחד, ולכן הוא הנוח לבידוד: y = 7 − 2x.
- מציבים במשוואה השנייה: 7 − 2x = x² − 2x + 3.
- מסדרים. האיברים עם המשתנה מצטמצמים משני האגפים, ונשאר x² = 4, ולכן x = 2 או x = −2.
- משלימים את הערך השני מן המשוואה הליניארית: x = 2 נותן y = 3, ו-x = −2 נותן y = 11.
- (2, 3) ו-(−2, 11). שימו לב שההצטמצמות באמצע היא מתנה, ולא כלל: ברוב המערכות תישאר משוואה ריבועית מלאה.
- מזהים את הישר. הוא אופקי, ולכן כל הנקודות עליו נמצאות באותו גובה קבוע, והגובה הזה שלילי.
- מזהים את הפרבולה. המקדם המוביל חיובי, ולכן היא נפתחת כלפי מעלה, וקדקודה יושב על הציר האנכי בגובה חיובי.
- משווים גבהים. הערך הקטן ביותר שהפרבולה מקבלת הוא הגובה של הקדקוד, והוא כבר גבוה מגובה הישר.
- מסקנה: הפרבולה כולה נמצאת מעל הישר, ולכן אין ביניהם אף נקודת מפגש. אלגברית זה יתבטא בכך שנקבל ריבוע ששווה למספר שלילי.
- אין נקודות מפגש. את זה הכרענו מן המיקום בלבד, בלי לפתור אף משוואה.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות: קודם המהלך הבסיסי של בידוד, הצבה ופתרון, אחר כך מקרים מיוחדים כמו ישר אופקי, משיק ושתי פרבולות, ולבסוף סט מאתגר של תחומים, אורכי קטעים ופרמטרים. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות, ובהן גם בעיה מילולית שמתורגמת למערכת.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1חמישה צעדים: זהה, בודד, הצב, סדר, והשלם את הערך השני.
- 2פתרון הוא נקודה, ולכן הוא נכתב כזוג סדור.
- 3מספר הפתרונות הוא מספר נקודות המפגש: שתיים, אחת או אף אחת.
- 4ישר משיק נותן פתרון יחיד, וזה מקרה שראוי לזהות מיד.
- 5בדיקה בשתי המשוואות, ובמקוריות. נקודה שמקיימת אחת בלבד אינה פתרון.
