ארבע משפחות, ומה שעובר ביניהן
הפרק האחרון הוא גאומטריה קלאסית, בלי צירים ובלי נוסחאות: מקבילית, מלבן, מעוין וריבוע. הקושי כאן אינו בחישוב אלא בדיוק. תכונה שמתקיימת בכל מקבילית אינה בהכרח תכונה שמזהה מקבילית, ונתון שמספיק כדי להוכיח משהו על מרובע אחד לא בהכרח מספיק על אחר. לכן הפרק עוסק לא רק בשאלה מה נכון, אלא גם בשאלה מה מותר להסיק: מתי הנתונים מחייבים מסקנה, מתי הם שוללים אותה, ומתי הם פשוט אינם מספיקים ואומרים זאת בפירוש.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות, ובהן שתי הוכחות מלאות ודוגמה נגדית.
חזרה לשער החוברת
נתון אחד, ולפעמים שתי תשובות אפשריות. נניח שנאמר לכם שבמרובע מסוים שני האלכסונים שווים באורכם. האם זה מלבן? יכול להיות. אבל גם בטרפז שווה שוקיים שני האלכסונים שווים, והוא בוודאי אינו מלבן. אותו נתון בדיוק, ושתי צורות שונות לגמרי מקיימות אותו. המסקנה אינה שהנתון חסר ערך, אלא שהוא לבדו אינו מחייב. אם כבר ידוע שהמרובע הוא מקבילית, אותו נתון פתאום מכריע לגמרי. זה ההבדל בין להוכיח ובין לנחש, והוא כל הפרק הזה.
שלוש שאלות שמזהות כל מרובע
כשמקבלים מרובע ומבקשים לזהות אותו, יש דרך קצרה: שואלים עליו שלוש שאלות, ובסדר הזה. שאלה ראשונה, האם האלכסונים נחצים? אם כן, המרובע הוא מקבילית, וזו נקודת הפתיחה לכל השאר. אם לא, הוא אינו שייך לאף אחת מארבע המשפחות של הפרק. שאלה שנייה, האם האלכסונים שווים באורכם? תשובה חיובית מוסיפה זווית ישרה, כלומר מעלה את המקבילית לדרגת מלבן. שאלה שלישית, האם האלכסונים מאונכים זה לזה? תשובה חיובית מוסיפה צלעות שוות, כלומר הופכת את המקבילית למעוין. ומי שעונה חיובית על שתי השאלות האחרונות יחד מקבל את שתי התוספות בבת אחת. שימו לב שהסדר אינו מקרי: בלי התשובה הראשונה שתי האחרות אינן מספיקות, וזה בדיוק מה שההוק שלמעלה מדגים. ולבסוף כלל שמלווה את כל הפרק: תכונה של משפחה עוברת בירושה לכל מי שמתחתיה, אך לא כלפי מעלה.
האם האלכסונים נחצים זה את זה?
זו שאלת הפתיחה, ובלעדיה שתי השאלות הבאות אינן מספיקות. תשובה שלילית מוציאה את המרובע מארבע המשפחות של הפרק.
האם האלכסונים שווים באורכם?
תשובה חיובית מוסיפה זווית ישרה, ומכאן שכל ארבע הזוויות ישרות. היא אינה אומרת דבר על אורכי הצלעות.
האם האלכסונים מאונכים זה לזה?
תשובה חיובית מוסיפה שוויון של כל הצלעות, ומכאן שהאלכסונים גם חוצים את הזוויות. היא אינה אומרת דבר על הזוויות עצמן.
שתי תשובות חיוביות באותו מרובע
אז שתי התוספות מצטרפות: גם כל הזוויות ישרות וגם כל הצלעות שוות. זו הצורה שנמצאת בתוך שתי המשפחות בבת אחת, ולכן היא יורשת את שתיהן.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את ארבע המשפחות ואת דרכי ההוכחה שלהן.
מקבילית
שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות. מכאן נובע שהצלעות הנגדיות שוות, שהזוויות הנגדיות שוות, שכל שתי זוויות סמוכות משלימות למאה ושמונים מעלות, ושכל אלכסון נחצה בנקודת המפגש של השניים.
דרכים להוכיח מקבילית
ארבע דרכים מקובלות: שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות; שני זוגות צלעות נגדיות שוות; זוג אחד של צלעות שהן גם שוות וגם מקבילות; ואלכסונים שנחצים. בוחרים את זו שהנתונים כבר נותנים.
זוויות בין מקבילים
שתי צלעות מקבילות שחוצה אותן ישר יוצרות זוויות מתחלפות שוות וזוויות מתאימות שוות. זה הכלי שמאפשר להביע כמה זוויות בעזרת פרמטר אחד, ומכאן להגיע גם למשולשים מיוחדים בתוך המרובע.
מלבן
מקבילית שיש בה זווית ישרה. מכאן שכל ארבע הזוויות ישרות, ושהאלכסונים שווים באורכם. שימו לב שאלכסונים שווים אינם מחייבים אורכי צלעות שווים, ולכן מלבן אינו בהכרח ריבוע.
מעוין
מקבילית שכל צלעותיה שוות. האלכסונים בו מאונכים זה לזה וגם חוצים את זוויות המרובע. שטחו מתקבל ממכפלת האלכסונים חלקי שתיים, ואת הצלע אפשר לחשב מחצאי האלכסונים בעזרת משפט פיתגורס.
ריבוע
הוא נמצא בתוך שתי המשפחות בבת אחת, ולכן מקיים את מה שמתקיים בכל אחת מהן. שווה לזכור שהאלכסון שלו חוצה זווית ישרה לשתי זוויות של ארבעים וחמש מעלות, וזה מסביר הרבה משולשים שנוצרים בתוכו.
שלוש דוגמאות פתורות
חישוב זוויות במקבילית מתוך קשר נתון, שטח והיקף של מעוין מאלכסוניו, והוכחת חפיפה בתוך ריבוע.
- מה יודעים על שתי הזוויות האלה. הן סמוכות, וכל שתי זוויות סמוכות במקבילית משלימות למאה ושמונים מעלות.
- מסמנים בפרמטר. נסמן את הקטנה מבין השתיים, ואז השנייה גדולה ממנה בארבעים.
- כותבים משוואה. סכום השתיים הוא מאה ושמונים, ולכן פעמיים הקטנה ועוד ארבעים שווים למאה ושמונים.
- פותרים. פעמיים הקטנה הם מאה וארבעים, ולכן הקטנה היא 70 מעלות, והגדולה 110 מעלות.
- 70, 110, 70 ו-110 מעלות. הזוויות הנגדיות שוות, ולכן כל ערך חוזר פעמיים, ובדיקת הסכום הכולל נותנת שלוש מאות ושישים.
- שטח. במעוין השטח מתקבל ממכפלת שני האלכסונים חלקי שתיים, ולכן הוא 96 סנטימטרים רבועים.
- למה זה עובד. האלכסונים מאונכים וחוצים זה את זה, ולכן הם מחלקים את המעוין לארבעה משולשים ישרי זווית חופפים.
- לקראת ההיקף. כל אחד מן המשולשים האלה נשען על חצי אלכסון אחד ועל חצי אלכסון שני, כלומר על ניצבים באורך 8 ו-6.
- משפט פיתגורס. סכום ריבועי הניצבים הוא 100, ולכן היתר, שהוא צלע המעוין, הוא 10 סנטימטרים.
- שטח 96, והיקף 40 סנטימטרים. שימו לב שהצלע כלל לא נמסרה בנתונים, והיא חושבה מן האלכסונים.
- טענה: AB = BC. נימוק: בריבוע כל הצלעות שוות זו לזו.
- טענה: הזווית B במשולש הראשון והזווית C במשולש השני שוות. נימוק: בריבוע כל הזוויות ישרות, ושתי הזוויות האלה הן זוויות של הריבוע.
- טענה: BE = CF. נימוק: זה נתון.
- מסקנה: בשני המשולשים שתי צלעות והזווית שביניהן שוות בהתאמה, ולכן הם חופפים לפי צלע זווית צלע.
- מן החפיפה נובע גם ש-AE = BF, כי במשולשים חופפים כל הצלעות המתאימות שוות. זו בדרך כלל השאלה האמיתית שמאחורי הוכחת חפיפה.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות: קודם המקבילית ותכונותיה, אחר כך המלבן והמעוין, ולבסוף סט מאתגר על הריבוע ועל מה שמותר להסיק. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות, ובהן שתי הוכחות מלאות בטענות ונימוקים, ודוגמה נגדית שמפריכה טענה.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1מקבילית: צלעות נגדיות שוות, זוויות נגדיות שוות, סמוכות משלימות, ואלכסונים נחצים.
- 2מלבן: מקבילית עם זווית ישרה, ומכאן אלכסונים שווים.
- 3מעוין: מקבילית עם צלעות שוות, ומכאן אלכסונים מאונכים וחוצי זוויות.
- 4ריבוע: נמצא בתוך שתי המשפחות, ולכן יורש את שתיהן.
- 5שלוש הכרעות: הנתונים מחייבים, שוללים, או שאינם מספיקים. השלישית היא תשובה לגיטימית.
