לקרוא גרף, ואז להזיז אותו
זהו הפרק הפותח, והוא הבסיס לכל מה שבא אחריו בחוברת. פרק 2 כולו פרבולה, ובלי קריאת גרף אין לו על מה לעמוד. כאן נסדר את התכונות אחת אחת: נקודות אפס, תחומי חיוביות ושליליות, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה, ונלמד להבדיל בין מה שהגרף עושה ובין מה שהערך שלו אומר. אחר כך נעבור אל ההזזות: מה קורה כשמוסיפים קבוע לערך, מה קורה כשמוסיפים קבוע לארגומנט, ולמה שני המקרים האלה מתנהגים הפוך זה מזה.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, מהקל אל המאתגר, ועוד ארבע משימות פתוחות שבהן כותבים ומנמקים. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
חימום לפרק: בכל שורה בחרו את הטענה הנכונה על גרף או על הזזה. השורה הראשונה פתורה עבורכם כדוגמה. אחר כך לחצו על הבדיקה. קריאת גרף · נקודות אפס · קיצון · הזזה אנכית ואופקית · שיקוף.
אותו גרף בדיוק, ובכל זאת שתי תשובות שונות. קחו גרף אחד וגררו אותו ארבע יחידות ימינה ויחידה אחת למעלה. הצורה לא השתנתה: אותם עליות, אותן ירידות, אותו מספר נקודות קיצון. אבל נקודות האפס זזו, המפגש עם הציר האנכי זז, ותחומי החיוביות זזו איתם. זו כל התורה של הפרק: יש תכונות שנצמדות לצורה ונוסעות איתה, ויש תכונות שנצמדות למקום ומשתנות ברגע שהמקום משתנה. מי שיודע להפריד ביניהן פותר שאלת הזזה בלי לחשב כמעט כלום.
למה הזזה ימינה נכתבת עם מינוס
זו הנקודה שהכי הרבה תלמידים נופלים בה, והיא בעצם פשוטה. הפונקציה עצמה אינה משתנה כלל כשכותבים y = f(x − 3), והיא עדיין עושה בדיוק את מה שעשתה. מה שהשתנה הוא מה שנכנס אליה. הפונקציה מקבלת את הביטוי שבסוגריים, ולא את x עצמו. אם קודם היא קיבלה ארגומנט מסוים כשהצבנו x כלשהו, עכשיו כדי שאותו ביטוי יצא אותו דבר צריך להציב x גדול יותר בשלוש. כל נקודה על הגרף מחכה עכשיו ל-x גדול יותר, ולכן הגרף כולו מחליק ימינה. וההפך: y = f(x + 3) מסתפק ב-x קטן יותר, ולכן הוא מחליק שמאלה. שימו לב שבהזזה האנכית אין שום היפוך כזה, מפני ששם הקבוע נוסף אל התוצאה ולא אל הכניסה: y = f(x) + k פשוט מרים את כל הערכים ב-k.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק הזה בודק. כולן חוזרות על חומר של כיתה ט, ואין בהן נושא חדש.
ערך וארגומנט, ושני הכיוונים
f(a) הוא הגובה של הגרף מעל x = a. הכיוון ההפוך שונה: השאלה מה הארגומנט שנותן ערך מבוקש עשויה להניב יותר מתשובה אחת, כי ישר אופקי יכול לחתוך את הגרף בכמה מקומות.
נקודת אפס מול המפגש עם הציר האנכי
נקודת אפס היא מקום שבו הגרף פוגש את הציר האופקי, כלומר הערך הוא אפס. המפגש עם הציר האנכי הוא מקום אחד בלבד, ומקבלים אותו בהצבת x = 0. שתי הנקודות האלה מתבלבלות תדיר, והן שונות לגמרי.
חיוביות ושליליות
מסתכלים על הגרף ביחס לציר האופקי בלבד: מעליו פירושו ערך חיובי, מתחתיו פירושו ערך שלילי. כותבים את התשובה כאי שוויון על x, למשל x < 2, ולא כרשימת נקודות.
קיצון, עלייה וירידה
נקודת קיצון היא מקום שבו הגרף מחליף כיוון. מינימום: יורד ואז עולה. מקסימום: עולה ואז יורד. חשוב להפריד: עלייה אינה חיוביות. גרף יכול לעלות ולהיות כל הזמן מתחת לציר.
הזזה אנכית
y = f(x) + k מרים את הגרף כולו ב-k כלפי מעלה, ו-k שלילי מוריד אותו. הצורה נשמרת, ולכן תחומי העלייה והירידה אינם משתנים. נקודות האפס ותחומי החיוביות דווקא כן משתנים.
הזזה אופקית ושיקוף
y = f(x − k) מזיז ימינה ב-k, ו-y = f(x + k) שמאלה. בשיקוף בציר האופקי, y = −f(x), כל ערך מחליף סימן: נקודות האפס נשארות במקומן, וסוגי הקיצון מתחלפים.
שלוש דוגמאות פתורות
קריאה של כל התכונות מתוך טבלה, הזזה כפולה שמזיזה נקודת קיצון, ושיקוף שמראה מה נשמר ומה מתהפך.
- הטבלה: עבור x השווה ל-−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2 התקבלו הערכים 7, 0, −5, −8, −9, −8, −5, 0.
- נקודות אפס: מחפשים בשורה השנייה את הערך אפס. הוא מופיע פעמיים, ב-x = −4 וב-x = 2. אלה שתי נקודות האפס.
- המפגש עם הציר האנכי: קוראים את הערך בעמודה של x = 0, והוא −8. הנקודה היא (0, −8). שימו לב שהיא אינה נקודת אפס.
- קיצון: הערכים יורדים עד −9 ואז חוזרים לעלות, ולכן (−1, −9) היא נקודת מינימום.
- מגמה: הפונקציה יורדת בתחום x < −1 ועולה בתחום x > −1, וזאת קוראים מכיוון השינוי בטבלה.
- מטבלה חלקית לבדה קיבלנו חמש תכונות. לא היה צריך נוסחה ולא היה צריך שרטוט מלא.
- הנתון: לפונקציה h נקודת מינימום בנקודה (−2, 1). מבקשים את נקודת הקיצון של y = h(x + 3) − 5.
- קודם הכיוון האופקי: בסוגריים מופיע x + 3, כלומר פלוס, ולכן הגרף מחליק שמאלה בשלוש. הרכיב הראשון של הנקודה קטן בשלוש: −2 − 3 = −5.
- אחר כך הכיוון האנכי: מחסירים חמש מן הערך, ולכן הרכיב השני קטן בחמש: 1 − 5 = −4.
- סוג הקיצון: בהזזה בלבד הצורה לא התהפכה, ולכן מינימום נשאר מינימום.
- נקודת המינימום החדשה היא (−5, −4). לא נדרשה כאן שום נוסחה של הפונקציה עצמה.
- הנתון: לפונקציה g שתי נקודות אפס, ב-x = 0 וב-x = 6, ונקודת מקסימום ב-(3, 4). בונים את y = −g(x).
- נקודות האפס: שיקוף מחליף סימן של הערך, ולאפס אין סימן להחליף. −0 הוא אפס, ולכן שתי נקודות האפס נשארות בדיוק במקומן.
- הקיצון: הערך 4 הופך ל-−4, ולכן הנקודה החדשה היא (3, −4). הרכיב הראשון לא זז כלל.
- סוג הקיצון: מה שהיה הערך הגבוה ביותר הוא עכשיו הנמוך ביותר, ולכן מקסימום הפך למינימום.
- בשיקוף בציר האופקי: המפגשים עם הציר האופקי קבועים, סימני הערכים מתהפכים, וסוגי הקיצון מתחלפים.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל המאתגר: קודם קריאת תכונות מגרף ומטבלה, אחר כך ההזזות והשיקוף, ולבסוף סט שמשלב בין השניים ודורש נימוק. אחריהם סט רביעי, ארבע משימות פתוחות: שם כותבים בעצמכם, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית. המשימות הפתוחות אינן נספרות בציון, מפני שיש להן יותר מתשובה נכונה אחת.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1נקודת אפס היא על הציר האופקי, והמפגש עם הציר האנכי מתקבל בהצבת x = 0.
- 2חיוביות ושליליות נקבעות לפי מיקום ביחס לציר האופקי, ונכתבות כאי שוויון על x.
- 3עלייה אינה חיוביות. גרף יכול לעלות ולהישאר כל הזמן מתחת לציר.
- 4הזזה אנכית נוגעת בתוצאה, והזזה אופקית נוגעת בכניסה. לכן רק השנייה הפוכה בסימן.
- 5שיקוף בציר האופקי משאיר את נקודות האפס ומחליף את סוגי הקיצון.
- 6סימטריה חוסכת חישוב: שתי נקודות במרחק שווה מציר הסימטריה נושאות את אותו ערך.
| התכונה | הזזה אנכית | הזזה אופקית | שיקוף בציר האופקי |
|---|---|---|---|
| צורת הגרף | נשמרת | נשמרת | מתהפכת כלפי מטה |
| נקודות האפס | משתנות | משתנות | נשמרות |
| תחומי עלייה וירידה | נשמרים | זזים | מתחלפים ביניהם |
| סוג נקודת הקיצון | נשמר | נשמר | מתחלף |
| המפגש עם הציר האנכי | משתנה | משתנה | מחליף סימן |
שימו לב לשורה השנייה מלמטה: בשתי ההזזות סוג הקיצון נשמר, ורק השיקוף מחליף אותו. וזו בדיוק הסיבה ששאלה שמבקשת רצף של פעולות חייבת להיפתר לפי הסדר שבו הן בוצעו, ולא בבת אחת.
