לפתוח סוגריים, ואז לדעת לסגור אותם בחזרה
בפרק הזה שתי פעולות, והן הפוכות זו לזו בדיוק. פתיחת סוגריים היא כמעט תמיד טכנית: יש כלל, מפעילים אותו, ומכנסים. פירוק לגורמים הוא ההפך הגמור: אין נוסחה שמכניסים לתוכה, יש סדר בדיקה, וצריך להחליט בכל ביטוי מחדש איזה כלי מתאים לו. מי ששולט בשניים האלה מקבל בחינם את פרק 4, כי משוואה ריבועית מפורקת נפתרת בשורה אחת.
נסיים בשני נושאים שנשענים על הפירוק ישירות: תחום הצבה כשיש משתנה במכנה, ותרגום מצב הנדסי לביטוי ריבועי.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
חימום לפרק: שלוש שורות של פתיחת סוגריים ושלוש של פירוק לגורמים, שתי פעולות שהן בדיוק הפוכות זו לזו. בכל שורה בחרו את הביטוי הנכון. השורה הראשונה פתורה כדוגמה. חוק הפילוג · נוסחאות כפל מקוצר · גורם משותף · פירוק שלשה ריבועית.
אותה טעות חוזרת שנה אחרי שנה, ותמיד באותו מקום. (a + b)² אינו a² + b², והסיבה גאומטרית לגמרי: ריבוע שצלעו a + b מתחלק לארבע חתיכות ולא לשתיים. שתיים מהן הן הריבועים המוכרים, ושתיים נוספות הן מלבנים זהים שכל אחד מהם ab - וביחד הם האיבר האמצעי 2ab. מי שמוחק אותם מוחק בעצם שני מלבנים שלמים משטח הריבוע. וכשעוברים לכיוון ההפוך, לפירוק, האיבר האמצעי הזה הוא בדיוק מה שמסגיר איזו נוסחה מסתתרת כאן.
סדר הבדיקה בפירוק, ולמה הוא לא שרירותי
פירוק לגורמים אינו נוסחה אלא שלושה מבחנים לפי הסדר. ראשון: גורם משותף. בודקים אם יש משהו שאפשר להוציא מכל האיברים גם יחד, מספר, אות, או שניהם. הוא ראשון מפני שהוצאתו מקטינה את הביטוי ולעיתים חושפת פירוק נוסף שלא נראה קודם. שני: נוסחת כפל מקוצר. שני איברים בלבד עם חיסור ביניהם ושניהם ריבועים מסגירים הפרש ריבועים, ושלושה איברים שהראשון והאחרון ריבועים והאמצעי הוא כפליים מכפלת השורשים מסגירים ריבוע של סכום או של הפרש. שלישי: שלשה ריבועית. מחפשים שני מספרים שמכפלתם היא האיבר החופשי וסכומם הוא המקדם האמצעי. ואחרי שהוצאתם גורם משותף, חוזרים לתחילת הרשימה: הביטוי שנשאר בסוגריים הוא ביטוי חדש שראוי לבדיקה משלו. זו הסיבה שביטוי אחד דורש לפעמים שני צעדים ברצף.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות: שלוש לפתיחת סוגריים ושלוש לפירוק ולמה שנשען עליו.
חוק הפילוג המורחב
(a + b)(c + d) נפתח לארבעה מכפלים: כל איבר מן הסוגר הראשון כפול כל איבר מן השני. אם באחד הסוגריים יש חיסור, נושאים איתו את הסימן לתוך המכפלה ולא שוכחים אותו בדרך.
שלוש נוסחאות הכפל המקוצר
(a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b², ו-(a − b)(a + b) = a² − b². שתי הראשונות מייצרות שלושה איברים, והשלישית דווקא שניים, מפני שהאמצעיים מבטלים זה את זה.
כינוס ושקילות
אחרי הפתיחה מכנסים איברים דומים בלבד, כלומר כאלה שיש בהם אותה אות באותה חזקה. שני ביטויים הם שקולים אם אחרי פישוט מלא הם זהים, וכל צעד של פתיחה או כינוס משמר שקילות מפני שהוא רק כותב אותו דבר אחרת.
גורם משותף, ומתי הוא סוגריים
מוציאים את הגדול ביותר שמתחלק בכולם, ומחלקים בו כל איבר בנפרד. הגורם המשותף עשוי להיות סוגר שלם: ב-x(x + 4) − 7(x + 4) החוזר על עצמו הוא (x + 4), ומוציאים אותו בדיוק כמו שמוציאים מספר.
מכפלה מתאפסת
מכפלה שווה לאפס רק אם אחד הגורמים הוא אפס. לכן ביטוי מפורק שמושווה לאפס נפתר במקום: מאפסים כל גורם בנפרד. שימו לב שהעיקרון תקף לאפס בלבד, ואינו עובד למספר אחר.
תחום הצבה ושבר אלגברי
מכנה שיש בו משתנה אינו רשאי להתאפס, ולכן לפני כל פתרון פוסלים את הערכים שמאפסים אותו. שבר אלגברי מצמצמים רק אחרי שמפרקים גם את המונה וגם את המכנה, ומצמצמים גורם שלם - לעולם לא איבר בודד מתוך סכום.
שלוש דוגמאות פתורות
פתיחה שיש בה חיסור ומקדם, פירוק שדורש שני צעדים ברצף, וצמצום שבר אחרי פירוק כפול.
- הביטוי: (2x + 5)(x − 3).
- ארבעה מכפלים, אחד אחד: 2x · x = 2x², אחר כך 2x · (−3) = −6x, אחר כך 5 · x = 5x, ולבסוף 5 · (−3) = −15.
- הסימן: שימו לב ששני המכפלים שכללו את ה-−3 יצאו שליליים. זה המקום שבו נופלים, ולכן כדאי לרשום את המינוס בתוך המכפלה ולא לזכור אותו בראש.
- כינוס: רק −6x ו-5x דומים, והצירוף שלהם הוא −x. שני האחרים אינם דומים לאיש.
- התוצאה היא 2x² − x − 15. שימו לב שהמקדם האמצעי יצא שלילי, אף ששני הסוגריים נראו כמעט חיוביים.
- הביטוי: 3x³ − 27x. שני איברים בלבד, ודרגתו שלוש.
- מבחן ראשון, גורם משותף: המספר 3 מתחלק בשניהם, וגם x מופיע בשניהם. מוציאים 3x ומקבלים 3x(x² − 9).
- חוזרים לתחילת הרשימה: מה שנשאר בסוגריים הוא ביטוי חדש. אין בו גורם משותף, אבל יש בו שני איברים עם חיסור ושניהם ריבועים.
- מבחן שני, נוסחה: זהו הפרש ריבועים, ולכן x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
- מרכיבים: 3x(x − 3)(x + 3). שלושה גורמים, ולכן לביטוי הזה יש שלוש נקודות אפס ולא שתיים.
- בלי הצעד הראשון היה נראה שהביטוי אינו ניתן לפירוק. הוצאת הגורם היא שחשפה את הנוסחה.
- הביטוי: x² − 6x + 9x² − 9.
- קודם תחום ההצבה: המכנה מתאפס כאשר x² = 9, ולכן פוסלים את x = 3 ואת x = −3. את זה עושים לפני הצמצום, כי אחריו הם כבר לא ייראו.
- מפרקים את המונה: שלושה איברים, הראשון והאחרון ריבועים, והאמצעי הוא כפליים מכפלת השורשים. לכן x² − 6x + 9 = (x − 3)².
- מפרקים את המכנה: הפרש ריבועים, ולכן (x − 3)(x + 3).
- מצמצמים גורם שלם: (x − 3) מופיע למעלה ולמטה, ומצמצמים אותו פעם אחת. נשאר x − 3x + 3.
- התוצאה נכונה לכל x מלבד השניים שנפסלו. בלי הפירוק לא היה כאן מה לצמצם כלל, ובלי תחום ההצבה התשובה הייתה שגויה בשתי נקודות.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות: קודם פתיחת סוגריים וכינוס, אחר כך פירוק לגורמים על כל שלושת המבחנים, ולבסוף סט מאתגר שבו הפירוק משמש לפתרון משוואות, לתחום הצבה ולתרגום של מצב הנדסי. אחריהם ארבע משימות פתוחות.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1ריבוע של סכום אינו סכום של ריבועים. האיבר האמצעי הוא שתי חתיכות שלמות בשטח.
- 2סדר הפירוק: גורם משותף, אחר כך נוסחה, אחר כך שלשה, ואז חזרה להתחלה.
- 3גורם משותף יכול להיות סוגר שלם, ולא רק מספר או אות.
- 4מכפלה מתאפסת רק כאשר אחד הגורמים מתאפס, ורק כשמשווים לאפס.
- 5צמצום שני אגפים בגורם משותף עלול לאבד פתרון. מעבירים אגף ומפרקים במקום.
- 6תחום הצבה נקבע לפני הפתרון, ופתרון שמאפס מכנה נפסל גם אם הוא נכון אלגברית.
| מה רואים בביטוי | מה זה מסגיר | מה עושים |
|---|---|---|
| אותו מספר או אותה אות בכל האיברים | גורם משותף | מוציאים, וחוזרים לבדוק את מה שנשאר |
| שני איברים, חיסור, ושניהם ריבועים | הפרש ריבועים | מכפלה של הפרש בסכום |
| שלושה איברים, והאמצעי הוא כפליים מכפלת השורשים | ריבוע של סכום או הפרש | סוגר אחד בריבוע |
| שלושה איברים שאינם מתאימים לנוסחה | שלשה ריבועית | שני מספרים: מכפלה וסכום |
| אף אחד מהם, וגם אין שני מספרים שלמים מתאימים | אין פירוק בשלמים | אומרים זאת במפורש, וזו תשובה |
השורה האחרונה חשובה לא פחות מן האחרות. אי אפשר לפרק כל ביטוי בשלמים, וזיהוי המקרה הזה הוא תשובה מלאה ולא הודאה בכישלון. בפרק 4 נראה שדווקא לביטויים כאלה יש עדיין פתרון, והוא מגיע מנוסחת השורשים.
