שתי דרכים לפתור, והידיעה מתי כל אחת
למשוואה ריבועית יש שתי דרכי פתרון, והן אינן שוות ערך מבחינת זמן. פירוק לגורמים מהיר ומדויק כשהוא נראה מיד, ונוסחת השורשים עובדת תמיד אבל דורשת יותר עבודה. בפרק הזה נלמד קודם כול לסדר את המשוואה, שהרי אי אפשר לזהות מקדמים לפני שאגף אחד מתאפס, ואז נחליט בכל משוואה מחדש באיזו דרך ללכת.
נמשיך אל שלושה מקרים מיוחדים שנפתרים בלי נוסחה כלל, אל משוואות שיש בהן שבר עם משתנה במכנה ולכן גם תחום הצבה, ואל מערכת של משוואה ישרה ומשוואה ריבועית, שהיא בעצם השאלה איפה נפגשים ישר ופרבולה.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
חימום לפרק: שש שורות על סדר הפתרון של משוואה ריבועית, מן הסידור ועד המערכת. בכל שורה בחרו את הטענה הנכונה. השורה הראשונה פתורה כדוגמה. סידור למצב שאגף מתאפס · הביטוי שמתחת לשורש · מקרים חסרי איבר · בידוד והצבה.
ביטוי אחד בתוך הנוסחה מכריע הכול, ואפשר לחשב אותו לפני שמתחילים. הביטוי שמתחת לשורש אומר כמה פתרונות יש עוד לפני שיש בידכם פתרון אחד. חיובי פירושו שני פתרונות, אפס פירושו פתרון יחיד, ושלילי פירושו שאין פתרון כלל, מפני שאין שורש ריבועי למספר שלילי. ולזה יש תרגום גרפי מדויק: הפרבולה חוצה את הציר האופקי בשתי נקודות, משיקה לו בנקודה אחת, או חולפת מעליו או מתחתיו בלי לגעת בו. שאלה שמבקשת רק את מספר הפתרונות נפתרת אפוא בשורה אחת, ומי שרץ לנוסחה המלאה עשה עבודה מיותרת.
שלושה מקרים שאינם צריכים את הנוסחה בכלל
נוסחת השורשים עובדת תמיד, ולכן קל להתרגל להפעיל אותה על הכול. אבל בשלושה מקרים היא עבודה מיותרת. ראשון: אין איבר חופשי. אז x הוא גורם משותף לשני האיברים, מוציאים אותו, ומקבלים מכפלה שמושווית לאפס. שימו לב שאפס הוא תמיד אחד הפתרונות במקרה הזה, ומי שמחלק את שני האגפים ב-x מאבד אותו. שני: אין איבר ליניארי. אז מבודדים את הריבוע ומוציאים שורש, ושני הסימנים נשמרים, שהרי גם מספר חיובי וגם הנגדי לו מתרבעים לאותה תוצאה. שלישי: דרגה גבוהה משתיים. אז אין בכלל משוואה ריבועית, ואי אפשר להציב בנוסחה כלל: מפרקים לגורמים ומאפסים כל גורם בנפרד. ובכל המקרים האחרים מסתכלים על הביטוי ושואלים אם הפירוק נראה מיד. אם כן, מפרקים. אם לא, מסדרים, מזהים שלושה מקדמים עם הסימנים שלהם, ומציבים.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות: ארבע על משוואה בודדת, אחת על שברים, ואחת על מערכות.
קודם מסדרים
אין מזהים מקדמים לפני שאגף אחד מתאפס. מעבירים הכול לצד אחד, מכנסים, ורק אז קוראים את a, b ו-c עם הסימנים שלהם. מקדם חסר פירושו שערכו אפס, ולא שאפשר לדלג עליו.
הביטוי שמתחת לשורש
b² − 4ac מכריע בלבד את מספר הפתרונות: חיובי נותן שניים, אפס נותן אחד, ושלילי אומר שאין. לשאלה שמבקשת רק את המספר אין צורך להמשיך אל הנוסחה המלאה.
נוסחת השורשים
x = −b ± b² − 4ac2a. הסימן הכפול הוא שמייצר את שני הפתרונות. הטעות הנפוצה ביותר כאן היא לאבד מינוס בהצבה, ולכן כדאי לכתוב כל מקדם שלילי בתוך סוגריים.
שלושת המקרים המיוחדים
אין איבר חופשי - מוציאים גורם, ואפס הוא פתרון. אין איבר ליניארי - מבודדים ומוציאים שורש, בשני סימנים. דרגה גבוהה משתיים - מפרקים, ואין מציבים בנוסחה.
שבר עם משתנה במכנה
קובעים קודם תחום הצבה, ורק אז כופלים את שני האגפים במכנה המשותף. הכפל מוצדק בדיוק מפני שהמכנה אינו אפס. בסוף פוסלים כל פתרון שמאפס מכנה, גם אם הוא נכון אלגברית.
מערכת של ישר ופרבולה
מבודדים משתנה מן המשוואה הישרה, מציבים בריבועית, ופותרים. אחר כך חוזרים ומשלימים את המשתנה השני. הפתרון נרשם כזוגות מתאימים, שהם נקודות המפגש של שני הגרפים.
שלוש דוגמאות פתורות
פתרון מלא בנוסחה, משוואה עם משתנה במכנה שדורשת תחום הצבה, ומערכת שנפתרת בבידוד והצבה.
- המשוואה: 2x² − 7x + 3 = 0. אגף אחד כבר מתאפס, ולכן אפשר לזהות מקדמים.
- המקדמים: a = 2, b = −7, c = 3. שימו לב שהמקדם האמצעי שלילי, וכותבים אותו כך ולא כשבע.
- הביטוי שמתחת לשורש: (−7)² − 4 · 2 · 3 = 49 − 24 = 25. הוא חיובי, ולכן צפויים שני פתרונות.
- הצבה: השורש של 25 הוא 5, והמונה הוא 7 ± 5 מחולק ב-4.
- שני הפתרונות: (7 + 5) : 4 = 3, וגם (7 − 5) : 4 = 0.5.
- בדיקה בהצבה: עבור x = 3 מתקבל 18 − 21 + 3 = 0. הצבה חוזרת היא הדרך היחידה לתפוס טעות סימן בלי מפתח תשובות.
- שני פתרונות, ואחד מהם אינו שלם. זו בדיוק המשוואה שהפירוק בה אינו נראה מיד.
- המשוואה: באגף אחד שבר שמונהו 6 ומכנהו x − 1, ובאגף השני x.
- קודם תחום הצבה: המכנה מתאפס כאשר x = 1, ולכן פוסלים את הערך הזה מראש. את זה עושים לפני כל פעולה אחרת.
- כופלים במכנה: מותר לכפול את שני האגפים ב-x − 1 בדיוק מפני שקבענו שהוא אינו אפס. מתקבל 6 = x(x − 1).
- מסדרים ופותרים: x² − x − 6 = 0, ופירוק לגורמים נותן (x − 3)(x + 2) = 0, כלומר x = 3 או x = −2.
- בודקים מול תחום ההצבה: אף אחד משני הפתרונות אינו שווה לערך שנפסל, ולכן שניהם קבילים.
- שני פתרונות. אילו אחד מהם היה יוצא שווה לערך שנפסל, היה צריך למחוק אותו למרות שהוא נכון אלגברית לגמרי.
- המערכת: משוואה ראשונה y = x − 1, ומשוואה שנייה y = x² − 3x + 2.
- איזה משתנה לבודד: y כבר מבודד בשתיהן, ולכן הדרך הקצרה היא להשוות ביניהן. מכאן x² − 3x + 2 = x − 1.
- מסדרים: מעבירים הכול לאגף אחד ומקבלים x² − 4x + 3 = 0.
- פותרים: הפירוק נראה מיד: (x − 1)(x − 3) = 0, ולכן x = 1 או x = 3.
- משלימים את המשתנה השני: מציבים בכל אחד מן הערכים במשוואה הישרה, שהיא הפשוטה יותר. מתקבל y = 0 ו-y = 2.
- רושמים כזוגות: (1, 0) ו-(3, 2), ולא כשתי רשימות נפרדות. בלי ההצמדה הנכונה התשובה שגויה.
- גרפית: אלה שתי נקודות המפגש של הישר עם הפרבולה. שתי נקודות פירושן שהישר חותך, ולא משיק.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות: קודם סידור, מקדמים ומספר פתרונות, אחר כך פתרון בשלוש הדרכים ואיתור טעות בדרך של אחר, ולבסוף סט מאתגר של מערכות ובעיות מילוליות. אחריהם ארבע משימות פתוחות.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1קודם מסדרים כך שאגף אחד מתאפס, ורק אז מזהים מקדמים עם הסימנים שלהם.
- 2הביטוי שמתחת לשורש נותן את מספר הפתרונות לבדו, בלי לפתור.
- 3בלי איבר חופשי מוציאים גורם, ואפס הוא תמיד אחד הפתרונות.
- 4בלי איבר ליניארי מוציאים שורש, ולא שוכחים את שני הסימנים.
- 5משתנה במכנה מחייב תחום הצבה לפני הפתרון, ופסילה אחריו.
- 6מערכת נפתרת בבידוד והצבה, והתשובה נרשמת כזוגות מתאימים.
| מה רואים במשוואה המסודרת | הדרך המומלצת | למה דווקא היא |
|---|---|---|
| שלושה איברים, מקדם מוביל אחת, מספרים קטנים | פירוק לגורמים | קצר יותר, ואינו מזמין טעות סימן |
| שלושה איברים, והפירוק אינו נראה | נוסחת השורשים | עובדת תמיד, גם כשאין פירוק בשלמים |
| אין איבר חופשי | הוצאת גורם | אפס הוא פתרון, וחלוקה תאבד אותו |
| אין איבר ליניארי | בידוד והוצאת שורש | שני סימנים, וללא חישוב מיותר |
| דרגה גבוהה משתיים | פירוק בלבד | אין כאן משוואה ריבועית להציב בה |
שימו לב שאין בטבלה אף שורה שבה שתי דרכים שקולות. יש תמיד דרך מומלצת אחת, וההבדל אינו בתשובה אלא בזמן ובמספר ההזדמנויות לטעות בסימן.
