להוכיח, ולדעת מתי כבר הוכחתם
זהו הפרק הסוגר, והוא שונה מקודמיו: אין בו כמעט חישוב, ויש בו ניהול הוכחה. נתחיל במפת המרובעים, ובהבחנה שהיא הלב של הפרק כולו: ההבדל בין תכונה של צורה ובין תנאי מספיק לזהות אותה. מקבילית שאלכסוניה נחצים היא תכונה, ומרובע שאלכסוניו נחצים ולכן הוא מקבילית הוא תנאי מספיק, ואלה שני משפטים שונים.
אחר כך נעבור אל התיכון אל היתר, אל חפיפה ודמיון, ואל השאלה הארוכה: כזאת שסעיפיה נשענים זה על זה, ושבה סעיף א הוא בדרך כלל הרמז לסעיף ב. נלמד גם לקבוע מתי טענה נכונה תמיד, נכונה לפעמים, או שאי אפשר להכריע בה, ואיך בונים דוגמה נגדית.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
חימום לפרק: שש שורות על תכונות המרובעים, הטרפז והמשולש. בכל שורה בחרו את הטענה הנכונה. השורה הראשונה פתורה כדוגמה. מקבילית · מלבן · מעוין · שווה שוקיים · טרפז · תיכון אל היתר.
נתון אחד כמעט אף פעם אינו קובע את הצורה. ניקח מרובע שידוע עליו רק שאלכסוניו חוצים זה את זה. זה מספיק כדי לקבוע שהוא מקבילית, וזה נכון וסופי. אבל הוא יכול להיות מקבילית נטויה לגמרי, והוא יכול להיות גם מלבן מושלם, ואפילו ריבוע. הנתון אינו מבחין ביניהם, מפני שהוא נכון בכולם. מכאן שתי מסקנות מעשיות: כדי לטעון על משפחה צרה יותר צריך נתון נוסף, וכדי להפריך טענה מספיק למצוא צורה אחת שמקיימת את הנתון ולא את המסקנה. וזו בדיוק דוגמה נגדית.
תכונה ותנאי מספיק אינם אותו משפט
זו ההבחנה שמפרידה בין תשובה נכונה לתשובה שנשמעת נכונה. תכונה הולכת מן הצורה אל המסקנה: אם ידוע שמרובע הוא מקבילית, אפשר להסיק שצלעותיו הנגדיות שוות. תנאי מספיק הולך בכיוון ההפוך: אם ידוע שבמרובע זוג צלעות נגדיות שוות וגם מקבילות, אפשר להסיק שהוא מקבילית. שני המשפטים נשמעים דומים, ורק אחד מהם רלוונטי לשאלה שלפניכם. הכלל המעשי: שאלו תמיד מה נתון ומה צריך להוכיח, ואז בחרו את המשפט שהולך בכיוון הנכון. ולמה זה קריטי: לא כל תכונה היא תנאי מספיק. במקבילית הצלעות הנגדיות שוות, אבל זוג אחד של צלעות נגדיות שוות אינו מספיק כדי לקבוע מקבילית, שהרי גם בטרפז שווה שוקיים יש זוג צלעות שוות והוא אינו מקבילית. חלק מן המשפטים הפיכים וחלק אינם, וזה מה שצריך לזכור לכל אחד מהם בנפרד.
מה חשוב לזכור
שלוש כרטיסיות על משפחות המרובעים, ושלוש על הכלים שמוכיחים בהם.
מקבילית
תכונות: צלעות נגדיות מקבילות ושוות, זוויות נגדיות שוות, זוויות סמוכות משלימות ל-180°, והאלכסונים חוצים זה את זה. תנאים מספיקים: שני זוגות מקבילים, שני זוגות שווים, זוג אחד מקביל וגם שווה, אלכסונים שנחצים, או שני זוגות זוויות נגדיות שוות.
מלבן, מעוין וריבוע
המלבן מוסיף למקבילית ארבע זוויות ישרות, ומכאן אלכסונים שווים. המעוין מוסיף ארבע צלעות שוות, ומכאן אלכסונים מאונכים שגם חוצים את הזוויות. הריבוע יורש משתי המשפחות, ולכן אלכסוניו גם שווים וגם מאונכים.
דלתון וטרפז
בדלתון שני האלכסונים אינם שווי מעמד: הראשי חוצה את המשני ומאונך לו, והוא גם ציר סימטריה. הטרפז הוא מרובע שיש בו זוג צלעות מקבילות אחד, ובטרפז שווה שוקיים נוספים זוויות בסיס שוות ואלכסונים שווים.
קטעים מיוחדים במשולש
תיכון אל היתר במשולש ישר זווית שווה למחצית היתר, ולכן הוא יוצר שני משולשים שווי שוקיים. במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם התיכון לבסיס וגם הגובה אליו, ושלושת הקווים מתלכדים לקו אחד.
חפיפה ודמיון
חפיפה מוכיחים באחד ממשפטי החפיפה, ובוחרים לפי הנתונים שבידכם ולא לפי הרגל. בדמיון חובה לרשום את הקודקודים בסדר המתאים, אחרת יחסי הצלעות יוצאים שגויים. מדמיון נגזר יחס אורכים כמו שהוא, ויחס שטחים בריבוע.
ניהול הוכחה ארוכה
כל צעד מנומק במשפט או בנתון, ולא ב"רואים בשרטוט". מה שהוכח בסעיף קודם מותר להשתמש בו כמו בנתון, וזו בדרך כלל הכוונה. וכשמבקשים להכריע בטענה, יש שלוש תשובות אפשריות: נכונה תמיד, נכונה לפעמים, או שאי אפשר להכריע.
שלוש דוגמאות פתורות
הוכחה שמרובע הוא מקבילית, חישוב זוויות בעזרת פרמטר, ושאלה בת שני סעיפים שבה הראשון הוא הרמז לשני.
- הנתון: במרובע ABCD האלכסונים נחתכים בנקודה M, וידוע ש-AM = MC וש-BM = MD.
- מה שרואים ואינו נתון: הזוויות AMB ו-CMD הן זוויות קודקודיות, ולכן הן שוות. זהו נימוק במשפט, ולא קריאה מן השרטוט.
- חפיפה: במשולשים AMB ו-CMD יש שתי צלעות שוות וזווית שווה ביניהן, ולכן הם חופפים לפי צלע זווית צלע.
- מסקנה מן החפיפה: AB = CD, ובנוסף הזוויות BAM ו-DCM שוות.
- מזוויות אל מקבילות: שתי הזוויות האלה מתחלפות ביחס לישרים AB ו-CD ולחותך AC, ולכן שני הישרים מקבילים.
- סיום: זוג צלעות נגדיות שהוא גם מקביל וגם שווה מספיק כדי לקבוע מקבילית.
- שימו לב שהשתמשנו כאן בחפיפה כדי להשיג מקבילות, ולא הפוך. זהו הכיוון שכמעט תמיד עובד.
- הנתון: בטרפז ABCD שבו AB מקביל ל-DC, זווית A גדולה פי חמישה מזווית D.
- מסמנים: נסמן את זווית D ב-x, ולכן זווית A היא 5x. בחירת הנעלם בקטנה מבין השתיים חוסכת שברים.
- איזה משפט חל: A ו-D הן זוויות חד צדדיות בין שני ישרים מקבילים ולחותך AD, ולכן סכומן 180°.
- המשוואה: x + 5x = 180, כלומר 6x = 180, ומכאן x = 30.
- התשובה: זווית D היא 30° וזווית A היא 150°.
- בדיקה: 30 + 150 = 180, כנדרש. וסכום כל ארבע הזוויות במרובע חייב להיות 360°, ולכן שתי הזוויות האחרות מסתכמות גם הן ב-180°.
- הפרמטר לא הפך את השאלה לקשה יותר. הוא רק החליף ניחוש במשוואה אחת.
- הנתון: במשולש ABC הזווית B ישרה, והנקודה M היא אמצע היתר AC. ידוע ש-∠A = 35°.
- סעיף א: הוכיחו ש-BM = AM. הקטע BM הוא התיכון אל היתר, ולכן הוא שווה למחצית היתר. גם AM הוא מחצית היתר, שהרי M אמצעו. שני הקטעים שווים, ודי בציון המשפט.
- סעיף ב: מצאו את הזוויות ABM ו-MBC. וכאן נכנס הרמז.
- משתמשים בסעיף א: כבר ידוע ש-BM = AM, ולכן המשולש ABM שווה שוקיים, והזוויות שמול השוקיים שוות: ∠ABM = ∠A = 35°.
- ומה עם הזווית השנייה: הזווית B ישרה ומתחלקת לשני חלקים, ולכן ∠MBC = 90° − 35° = 55°.
- בדיקה: גם MB = MC, ולכן במשולש MBC הזווית C שווה גם היא ל-55°, ואכן 35° + 90° + 55° = 180° במשולש ABC.
- סעיף ב לא דרש שום כלי חדש. הוא דרש להבחין שסעיף א כבר הפך את המשולש ABM לשווה שוקיים, וזה בדיוק מה ששאלה ארוכה בודקת.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות: קודם התכונות והתנאים המספיקים, אחר כך הקטעים המיוחדים במשולש, החפיפה והדמיון, ולבסוף סט מאתגר של חישובי זוויות, דוגמאות נגדיות וניהול הוכחה. אחריהם ארבע משימות פתוחות.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1תכונה ותנאי מספיק הם שני משפטים שונים, ורק אחד מהם מתאים לכיוון של השאלה.
- 2המלבן מוסיף אלכסונים שווים, והמעוין מוסיף אלכסונים מאונכים.
- 3תיכון אל היתר במשולש ישר זווית שווה למחצית היתר, ובמשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם תיכון וגם גובה.
- 4מדמיון יחס האורכים עובר כמו שהוא, ויחס השטחים עובר בריבוע.
- 5דוגמה נגדית אחת מפריכה טענה, ואלף דוגמאות תומכות אינן מוכיחות אותה.
- 6מה שהוכח בסעיף קודם מותר לשימוש, וברוב השאלות הארוכות זו הכוונה.
| הצורה | מה היא מוסיפה | האלכסונים שווים | האלכסונים מאונכים | האלכסונים נחצים |
|---|---|---|---|---|
| מקבילית | שני זוגות מקבילים | לא בהכרח | לא בהכרח | כן |
| מלבן | זווית ישרה | כן | לא בהכרח | כן |
| מעוין | צלעות סמוכות שוות | לא בהכרח | כן | כן |
| ריבוע | שתי התוספות יחד | כן | כן | כן |
| דלתון | שני זוגות סמוכים שווים | לא בהכרח | כן | אחד חוצה את השני |
העמודה האחרונה היא זו שקושרת את הטבלה לפרק 5: כל שורה בה היא בעצם בדיקה בשיעורים. וכשקוראים את הטבלה לרוחב מגלים משהו נוסף: לדלתון ולמלבן אין ולו שורה זהה, ובכל זאת שניהם עשויים להיראות דומים בשרטוט חפוז.
