אחוזים, יחס וקנה מידה
שלושת הנושאים של הפרק הזה נראים שונים, ובעצם הם שאלה אחת: כמה יש כאן לכל כמה יש שם. אחוז הוא כמה מתוך מאה, יחס הוא כמה לכל כמה, וקנה מידה הוא יחס קבוע שרושמים אותו כך שאחד הצדדים הוא 1. בפרק נחשב אחוז מכמות, נוריד הנחה ונוסיף התייקרות, נחזור אחורה אל השלם, נצמצם יחסים ונחלק לפיהם, ונקרא מפה. במעבדה: תג מחיר חי - גררו מחיר ואחוז וראו כמה יורד וכמה משלמים.
אותה הנחה, לא אותו סכום. בחנות הכריזו על 20% הנחה על הכול. על פריט שמחירו 100 ש"ח יורדים 20 ש"ח, ועל פריט שמחירו 300 ש"ח יורדים 60 ש"ח. האחוז זהה, ההנחה בשקלים שונה לגמרי - כי אחוז אינו סכום קבוע אלא חלק מתוך המחיר. זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק הזה, וכדאי לתפוס אותה עכשיו.
שלושה שמות, רעיון אחד
אחוז הוא מאית: 20% פירושו 20 חלקים מתוך 100, כלומר 0.20. כדי למצוא אחוז מכמות כופלים: 20% מ-200 = 0.2 × 200 = 40. הנחה היא הורדה של האחוז הזה מן המחיר, והתייקרות היא הוספה שלו. יש גם קיצור דרך: אחרי הנחה של 20% משלמים 80% מן המחיר, ואפשר לחשב את זה ישירות. מציאת השלם היא הכיוון ההפוך: אם ידוע ש-45 הם 75%, אז 25% הם 15, ולכן השלם הוא 60. יחס נרשם a:b, ואפשר לצמצם ולהרחיב אותו כמו שבר בלי לשנות את ערכו: 12:8 = 3:2. כדי לחלק כמות לפי יחס סופרים קודם כמה חלקים יש בסך הכול. וקנה מידה הוא יחס קבוע בין המפה למציאות, ותמיד רושמים אותו כך שצד אחד הוא 1. שימו לב לסוד האחרון: אם כל אורך גדל פי 4, השטח גדל פי 16.
שישה כלים לפרק הזה
כל אחד מהם חוזר בתרגול, ושניים מהם חוזרים גם במשימות הפתוחות.
אחוז מכמות
כופלים בשבר העשרוני: 15% מ-220 = 0.15 × 220 = 33. אפשר גם דרך 10% (שהם 22) ועוד חצי ממנו (11).
מהו האחוז
מחלקים את החלק בשלם: 50 מתוך 250 הם חמישית, כלומר 20%.
הנחה והתייקרות
הנחה יורדת מהמחיר, התייקרות עולה עליו. אחרי הנחה של 30% משלמים 70% מהמחיר.
חזרה אל השלם
אם 45 הם 75%: 25% הם 15, ולכן השלם הוא 60.
יחס: לצמצם ולחלק
12:8 = 3:2. לחלוקה סופרים חלקים: 24 ביחס 3:1 הם 4 חלקים, כל חלק 6, ולכן 18 ו-6.
קנה מידה
1 : 25,000 אומר שס"מ אחד במפה הוא 250 מטר במציאות. אורך פי 4 - שטח פי 16.
שלוש דוגמאות פתורות
אחוז והנחה, חזרה אל השלם, וקריאת מפה. שימו לב לצעד האחרון בכל דוגמה: בדיקת סבירות.
- 25% הם רבע, ולכן ההנחה היא 140 : 4 = 35 ש"ח.
- מורידים מן המחיר: 140 − 35 = 105.
- דרך שנייה, לבדיקה: משלמים 75%, כלומר שלושה רבעים: 3 × 35 = 105.
- בדיקת סבירות: התשובה חייבת להיות קטנה מ-140 וגדולה מחצי ממנו.
- משלמים 105 ש"ח.
- מחפשים קודם כמה הם 10%: אם 70% הם 84, אז 10% הם שביעית מזה.
- 84 : 7 = 12, כלומר 10% הם 12 עצים.
- השלם הוא 100%, כלומר עשר פעמים 10%: 10 × 12 = 120.
- בדיקה לאחור: 70% מ-120 = 0.7 × 120 = 84. מתאים.
- בחווה 120 עצים.
- קנה המידה אומר שכל ס"מ אחד במפה הוא 30,000 ס"מ במציאות.
- לכן 10 ס"מ הם 10 × 30,000 = 300,000 ס"מ.
- ממירים ליחידה נוחה: בק"מ אחד יש 100,000 ס"מ.
- 300,000 : 100,000 = 3.
- המרחק במציאות הוא 3 ק"מ.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות סגורות, מן הקל אל הקשה: אחוז מכמות, אחר כך הנחה והתייקרות ומציאת השלם, ולבסוף יחס וקנה מידה. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות - שם כותבים תשובה במילים, ואז לוחצים כדי לראות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית. המשימות הפתוחות אינן נספרות בציון, כי אין דרך לבדוק אותן אוטומטית, אבל הן החלק החשוב ביותר בעמוד.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש לקחת מהפרק
- 1אחוז הוא מאית: אותו אחוז ממחירים שונים נותן סכומים שונים.
- 2הנחה: אפשר לחסר את ההנחה, ואפשר לחשב ישר את האחוז שנשאר.
- 3השלם: עוברים דרך 10%, ואז מכפילים בעשר.
- 4יחס: מצמצמים כמו שבר, ומחלקים לפי מספר החלקים.
- 5קנה מידה: אורך פי 4 - שטח פי 16. אלה שני יחסים שונים.
