תובנה מספרית, אומדן וחוקיות
זהו הפרק שבו לא מחשבים. במקום זה שואלים: האם התוצאה תגדל או תקטן? היא קרובה למאה או לאלף? התשובה שקיבלתי מתקבלת על הדעת? מי שיודע לאמוד תופס טעויות לפני שהן נכתבות, וזה בדיוק מה שכיתה ז׳ דורשת. נראה שהמספר 1 הוא הגבול שקובע אם כפל מגדיל או מקטין, נגלה שבין כל שני מספרים עשרוניים יש עוד אינסוף מספרים, נסדר את סדר הפעולות ונראה איך זוג סוגריים משנה תוצאה מקצה לקצה, נמשיך סדרות, ונסכם קבוצת נתונים בממוצע ובשכיח. במעבדה: מד גודל שמראה מיד אם הפעולה הגדילה או הקטינה.
חילוק לא תמיד מקטין. 36 : 2 = 18 - כאן הכול כרגיל, התוצאה קטנה. אבל 36 : 0.5 = 72, והתוצאה גדולה מ-36. הסיבה פשוטה: לחלק ב-0.5 זה לשאול "כמה חצאים נכנסים ב-36", והתשובה היא הרבה. מה שקובע אינו הפעולה אלא אם הגורם גדול או קטן מ-1. מי שלא יודע את זה, יפסול תשובה נכונה בכיתה ז׳ רק כי היא "לא נראית הגיונית".
הגבול הוא 1, וממנו נגזר הכול
כפל במספר גדול מ-1 מגדיל, וכפל במספר בין 0 ל-1 מקטין: 12 × 1.5 = 18 אבל 12 × 0.5 = 6. בחילוק הכיוונים מתהפכים: חילוק במספר גדול מ-1 מקטין, וחילוק במספר בין 0 ל-1 מגדיל. שימו לב שהגבול הוא 1 ולא אפס. כלי שני: אומדן. מעגלים כל מספר למספר עגול קרוב, מחשבים בראש, ומקבלים סדר גודל: 19 × 21 קרוב ל-20 × 20 = 400 (המדויק 399). האומדן שימושי פעמיים - לפני החישוב, כדי לדעת מה מחפשים, ואחרי החישוב, כדי לבדוק שהתשובה מתקבלת על הדעת. כלי שלישי: צפיפות. בין 0.41 ל-0.42 יש אינסוף מספרים, למשל 0.415. וכלי רביעי: כדי לסכם קבוצת נתונים במספר אחד יש שתי דרכים שונות - הממוצע (הסכום חלקי מספר האיברים) והשכיח (הערך שמופיע הכי הרבה פעמים), והם אינם חייבים להיות שווים. וכלי חמישי, שבלעדיו כל השאר לא שווה כלום: סדר הפעולות. בביטוי שיש בו יותר מפעולה אחת, כפל וחילוק נעשים לפני חיבור וחיסור, וסוגריים קודמים לכולם. לכן 2 + 3 × 4 הוא 14 ולא 20, ואילו (2 + 3) × 4 הוא 20. אותם שלושה מספרים, אותן שתי פעולות, ורק הסדר שונה. בדיוק מכאן מגיעה השאלה "הוסיפו סוגריים כך שהשוויון יתקיים": 20 − 8 : 4 הוא 18, אבל (20 − 8) : 4 הוא 3.
שישה כלים לפרק הזה
כולם מתורגלים למטה, ושלושה מהם חוזרים במשימות הפתוחות.
1 הוא הגבול
כפל בגורם גדול מ-1 מגדיל, כפל בגורם בין 0 ל-1 מקטין. בחילוק בדיוק להפך.
אומדן לפני, בדיקה אחרי
מעגלים ומחשבים בראש: 19 × 21 ≈ 400. ואם קיבלתם 105 ב-2.5 × 4.2, האומדן 10 מסגיר שהנקודה זזה.
סדר פעולות
כפל וחילוק לפני חיבור וחיסור, וסוגריים לפני כולם: 2 + 3 × 4 = 14, אבל (2 + 3) × 4 = 20.
צפיפות
בין 0.41 ל-0.42 יש אינסוף מספרים. אין "המספר הבא" בעשרוניים.
חוקיות בסדרה
מחפשים את הכלל: ב-3, 7, 11, 15 מוסיפים 4, וב-1, 2, 4, 8 כופלים ב-2.
ממוצע ושכיח
הממוצע הוא הסכום חלקי מספר האיברים; השכיח הוא הנפוץ ביותר. ב-12, 15, 15, 22 השכיח 15 והממוצע 16.
שלוש דוגמאות פתורות
אחת של סדר הפעולות והסוגריים, אחת של אומדן ובדיקה, ואחת של חשיבה הפוכה בממוצע.
- בביטוי יש שתי פעולות, ולכן קודם כול מכריעים מי מהן ראשונה. הכלל: כפל וחילוק לפני חיבור וחיסור.
- מחשבים קודם את הכפל: 6 × 5 = 30.
- ורק אז את החיסור: 40 − 30 = 10.
- עכשיו נוסיף סוגריים: (40 − 6) × 5. הסוגריים דוחפים את החיסור להיות ראשון, ולכן 34 × 5 = 170.
- 10 בלי סוגריים, 170 עם סוגריים - פי 17. אותם שלושה מספרים, ורק הסדר שונה.
- מעגלים: 297 קרוב מאוד ל-300.
- אומדן בראש: 300 × 4 = 1,200.
- עיגלנו כלפי מעלה, ולכן התשובה המדויקת חייבת להיות מעט קטנה מ-1,200.
- מחשבים: 297 × 4 = 1,188.
- 1,188 - קצת פחות מהאומדן, בדיוק כפי שציפינו. התשובה מתקבלת על הדעת.
- ממוצע הוא סכום חלקי מספר האיברים, ולכן קודם כול עוברים לסכומים.
- הסכום שכבר יש: 78 × 3 = 234.
- הסכום הדרוש לארבעה מבחנים בממוצע 80: 80 × 4 = 320.
- מה שחסר: 320 − 234 = 86.
- בדיקה: (234 + 86) : 4 = 320 : 4 = 80. מתאים.
- דרוש ציון 86.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות סגורות: קודם "גדול או קטן, בלי לחשב", אחר כך אומדן ובדיקת סבירות, ולבסוף חוקיות, ממוצע ושכיח. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות, ובהן בדיוק מה שאי אפשר לשאול ברב-ברירה: להסביר איך ידעתם, למצוא יותר מתשובה אחת, ולזהות מתי אין תשובה בכלל. המשימות הפתוחות אינן נספרות בציון, כי אין דרך לבדוק אותן אוטומטית, והן החלק החשוב ביותר בעמוד.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש לקחת מהפרק
- 1הגבול הוא 1: כפל בגורם קטן מ-1 מקטין, וחילוק בגורם קטן מ-1 מגדיל.
- 2אומדן לפני ובדיקה אחרי: מעגלים כדי לדעת מה מחפשים, ותשובה שרחוקה פי עשרה מהאומדן היא כמעט תמיד טעות בנקודה העשרונית.
- 3סדר פעולות: כפל וחילוק לפני חיבור וחיסור, וסוגריים לפני כולם.
- 4צפיפות: בין כל שני מספרים עשרוניים יש אינסוף מספרים.
- 5ממוצע ושכיח: שני סיכומים שונים של אותה קבוצה, והממוצע אינו חייב להופיע בה.
