כל מה שלמדנו בכיתה ה׳

השברים הפשוטים

שבר הוא חלק של שלם וחלק של כמות, הוא נקודה על ישר המספרים, והוא גם תוצאה של חילוק: קו השבר הוא סימן חילוק, ו-34 פירושו 3 : 4. המונה הוא מה שמחלקים, והמכנה הוא לכמה חלקים.

כשהמונה גדול מהמכנה, השבר גדול משלם אחד, ואפשר לכתוב אותו כמספר מעורב: 73 = 213. ובכיוון ההפוך, כל שלם הוא מכנה שלם של חלקים: 214 = 94.

בהרחבה כופלים את המונה ואת המכנה באותו מספר, ובצמצום מחלקים את שניהם באותו מספר. הערך נשמר, ורק השם משתנה: 45 = 810. שבר מצומצם עד הסוף כשאין מספר שמחלק גם את המונה וגם את המכנה.

כדי לחבר, לחסר או להשוות שברים עם מכנים שונים, מביאים אותם קודם למכנה משותף. מכפלת המכנים תמיד עובדת. אחרי שהמכנה משותף, מחברים או מחסרים רק את המונים, והמכנה נשאר. לפעמים משווים בלי חישוב: 34 גדול מחצי, ו-25 קטן מחצי.

לדפים: משמעויות השבר · השבר כמנת חילוק · צמצום והרחבה · השוואת שברים · חיבור וחיסור שברים

השברים העשרוניים

שבר עשרוני הוא שבר שהמכנה שלו 10, 100 או 1000, כתוב עם נקודה. הבית הראשון אחרי הנקודה הוא העשיריות, השני המאיות והשלישי האלפיות: ב-0.07 הספרה 7 שווה 7 מאיות.

אפס בסוף שבר עשרוני לא משנה את הערך: 0.7 = 0.70. לכן מספר עם יותר ספרות אינו בהכרח גדול יותר, ו-0.7 גדול מ-0.68. בין כל שני מספרים עשרוניים יש עוד מספרים: בין 0.4 ל-0.5 נמצאים 0.41, 0.42 וכן הלאה, עד 0.49.

מחברים ומחסרים נקודה מתחת לנקודה, ומשלימים באפסים. לפני החישוב מעגלים ומעריכים: 3.45 + 2.76 קרוב ל-3 + 3 = 6. את החיסור בודקים בחיבור.

משבר פשוט לעשרוני: מרחיבים את המכנה ל-10 או ל-100. 15 = 210 = 0.2. מאיות הן שתי ספרות אחרי הנקודה: 5100 = 0.05.

היכרות · רשות אחוז הוא שם אחר למאית: 1% = 0.01, ולכן 75100 הם 75%. האחוזים הפשוטים: 50% הם חצי, 25% הם רבע ו-10% הם עשירית. המעבר בין השמות עובר דרך המאיות: 0.6 = 0.60 = 60100 = 60%.

לדפים: משמעות השבר העשרוני · עשרוניים על ישר המספרים · חיבור וחיסור עשרוניים · משבר פשוט לעשרוני

פעולות החשבון במספרים טבעיים

סדר הפעולות: סוגריים תמיד קודם, אחר כך כפל וחילוק, ובסוף חיבור וחיסור. 8 + 12 : 4 = 8 + 3 = 11. אחרי מאות האלפים בא המיליון, וכל צעד שמאלה גדול פי 10. לפעמים קל יותר לפרק: 99 × 7 = 100 × 7 − 7 = 693.

אומדן אינו ניחוש: זה חישוב אמיתי עם מספרים נוחים. מעגלים כל גורם ומכפילים: 6,120 × 48 ≈ 6,000 × 50 = 300,000. אחרי החישוב משווים לאומדן. כשאין דרך לספור, נשענים על יחידה שאפשר למדוד: חבילה של 500 דפים היא כ-5 ס"מ, ולכן אלף דפים הם כ-10 ס"מ.

בשאלה כוללת בודקים קודם שיש את כל המידע שצריך, ואחרי הפתרון שואלים אם התשובה הגיונית. לפעמים אפשר להכריע בלי לחשב: 25 × 8 קטן מ-25 × 9, כי את אותו 25 כופלים ביותר.

רשות חילוק במספר דו-ספרתי. לכל ספרה של המנה אומדים, כופלים, מחסרים ומורידים את הספרה הבאה. בודקים בכפל: 384 : 16 = 24, כי 16 × 24 = 384. השארית תמיד קטנה מהמחלק.

רשות ספרות רומיות. ספרה מימין לגדולה ממנה מתחברת, וספרה משמאל לגדולה ממנה מחוסרת, ולכן VI הוא 6 ו-IV הוא 4.

לדפים: פעולות במספרים גדולים · אומדן · שאלות כוללות · חילוק במספר דו-ספרתי (רשות) · ספרות רומיות (רשות)

חקר נתונים וממוצע

השכיחות של ערך היא כמה פעמים הוא מופיע, וסכום כל השכיחויות הוא מספר כל הנבדקים. השכיחות היחסית היא השכיחות חלקי סך הכול, כמו 825: 8 מתוך 25. בדיאגרמת עמודות גובה העמודה הוא השכיחות, ובדיאגרמת עמודות כפולה משווים שתי קבוצות זו ליד זו.

ממוצע = סכום : מספר האיברים. הממוצע של 4, 8 ו-6 הוא 18 : 3 = 6. הממוצע תמיד נמצא בין הקטן ביותר לגדול ביותר. הוא לא חייב להיות אחד המספרים, ולא תמיד יוצא שלם. יודעים את הממוצע ומחפשים איבר חסר? קודם מוצאים את הסכום: ממוצע × מספר האיברים.

לדפים: טבלאות שכיחות ודיאגרמות · ממוצע

מצולעים

זווית היא שתי שוקיים שיוצאות מקודקוד משותף, וגודלה הוא הפתיחה ביניהן. אורך השוקיים לא משנה את הזווית. אומדים זוויות בעזרת עוגנים: ישרה 90°, מחציתה 45°, ועוד 30° ו-60°. זווית שטוחה היא 180°, וסיבוב שלם 360°. בשושנת הרוחות שמונה כיוונים, ובין שני כיוונים סמוכים 45°.

במקבילית שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות ושוות. במלבן הצלעות הנגדיות שוות ומקבילות, וכל הזוויות ישרות. במעוין כל ארבע הצלעות שוות, והנגדיות מקבילות. בריבוע כל ארבע הצלעות שוות וכל הזוויות ישרות. ריבוע, מלבן ומעוין הם מקרים מיוחדים של מקבילית. בטרפז יש זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות, ובדלתון שני זוגות של צלעות סמוכות שוות.

גובה במשולש הוא אנך מקודקוד אל הצלע שממולו. לכל משולש שלושה גבהים, אחד מכל קודקוד. במשולש ישר זווית שני גבהים מתלכדים עם הניצבים, ובמשולש קהה זווית שני גבהים נופלים מחוץ למשולש. גם במקבילית הגובה יוצר זווית ישרה עם הבסיס, והוא לא הצלע המשופעת.

בהיקף מצומצם בניית מרובעים לפי האלכסונים. במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה. במלבן הם גם שווים, במעוין הם גם מאונכים, ובריבוע הם גם שווים וגם מאונכים.

רשות ריצוף במצולעים משוכללים חופפים. סביב כל פינה יש 360°, ולכן מרצפים לבדם רק המשולש שווה הצלעות, הריבוע והמשושה המשוכלל.

לדפים: זוויות ושושנת הרוחות · תכונות המרובעים · גבהים במשולש · ריצוף (רשות)

מדידות שטחים

שטח מלבן הוא אורך × רוחב. שטח מקבילית הוא בסיס × גובה, והגובה מאונך לבסיס. הצלע הנטויה ארוכה מהגובה, ואם כופלים בה מקבלים שטח גדול מדי. כשגוזרים משולש מצד אחד של המקבילית ומחליקים אותו לצד השני, מתקבל מלבן עם אותו בסיס, אותו גובה ואותו שטח.

שטח משולש הוא בסיס × גובה : 2, כי המשולש הוא חצי מהמלבן החוסם בעל אותו בסיס ואותו גובה. בסיס 6 וגובה 4: 6 × 4 : 2 = 12, כלומר 12 סמ"ר.

שטח של צורה מורכבת מוצאים בשתי דרכים: מפרקים למלבנים ומשולשים ומחברים את החלקים, או משלימים למלבן גדול ומחסרים את הפינה החסרה. יחידות השטח הן ממ"ר, סמ"ר, דצמ"ר, מ"ר ודונם, ובוחרים את היחידה לפי גודל השטח.

רשות מדידות משקל. 1 ק"ג הוא 1,000 גרם.

לדפים: שטח מקבילית · שטח משולש · שטח של צורה מורכבת